Утверждение 1.4

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Доказательство. Действительно, из свойств определителей получаем, что при преобразовании 1 определитель изменяет знакна противоположный (свойство 1°). При преобразовании 2 определитель умножаетсяначисло (свойство 5°). И при преобразовании 3 определитель не изменяется (свойство 8°). Следовательно, если , то после преобразований 1, 2 или 3 он останется не равным 0; если
det A_k = 0, то после преобразований он по-прежнему будет равен 0.

Матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Если А и В – эквивалентные матрицы, то будем писать А ~ В.

При вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрица приводится к упрощенной (трапециевидной) форме:

где . Тогда rang T = r, так как

а любой минор порядка r + 1 будет равен 0, так как содержит, по крайней мере, одну строку, все элементы которой равны 0 (свойство определителей ). По утверждению (1.4) rang A = rang T, следовательно, rang A = r.

Таким образом, ранг матрицы А равен числу ненулевых строк трапециевидной матрицы Т, эквивалентной матрице А.