Теорема 1.2 (Кронекера-Капелли)

Для того чтобы система (1.11) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы rang A = rang .

Доказательство. При помощи прямого хода метода Гаусса, приведем систему (1.11) к виду (1.14).

Необходимость. Если система (1.11), совместна, то и система (1.14) тоже совместна, тогда

(если это не так, например, , то (r + 1)-е уравнение не имеет решений, т.е. система несовместна, что противоречит условию). Откуда следует, что в трапециевидных матрицах, эквивалентных матрице системы и расширенной матрице (первая получается из второй удалением последнего столбца), содержится одинаковое число ненулевых строк, значит rang A = rang .

Достаточность. Если rang A = rang , то (если это не так, например , то у матрицы, эквивалентной матрице , будет хотя бы на одну ненулевую строку больше, чем в матрице, эквивалентной матрице А, т.е. rang A < rang , что противоречит условию). Отбросим последние m – r уравнений в системе (1.14), получим систему r уравнений, которая будет эквивалентна системе (1.14), а значит и системе (1.11) (так как последние уравнения превращаются в тождества 0 = 0).

Назовем неизвестные у ₁, y ₂,..., у_r базисными, а у_{r +1}, у_{r +2}, …, у_n свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений. Получим систему относительно базисных неизвестных:

, (1.15)

которая эквивалентна (1.11), и для каждого набора значений свободных неизвестных y_{r +1} = t ₁, y_{r +2} = t ₂, …, y_n = t_n–r по теореме 1.1 имеет единственное решение.