Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В называется геометрическим вектором или просто вектором. Обозначается или строчными буквами латинского алфавита со стрелкой сверху: , …

Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора и обозначается: .

Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым. Нулевой вектор обозначается либо , либо 0. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой (лежат на параллельных прямых).

Два вектора называется равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое направление и длину.

Произведением вектора на действительное число называется новый вектор , который обладает свойствами:

1^о ;

2° направление вектора совпадает с направлением вектора , если
(рис. 2.1, а) и противоположно направлению вектора , если (рис. 2.1, б).

Если точка А является началом вектора , то говорят что вектор отложен от точки А. Отложим от точки А вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор , равный , называется суммой векторов и и обозначается:

Для любых трех точек А, В, С (рис. 2.2) справедливо равенство (правило треугольника): .

Умножение вектора на число и сложение векторов называются линейными операциями над векторами.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены. Из определения произведения вектора на число следует, что .

Разностью векторов называется вектор , сумма которого с вектором равна вектору . Обозначается: Разность векторов можно определить также равенством: Множество всех векторов на плоскости (в пространстве) образуют линейное пространство.