Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Прямая на плоскости. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, , – единичные направляющие векторы осей координат
|
|
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, 
, 
– единичные направляющие векторы осей координат. Рассмотрим на плоскости 0 ху произвольную прямую l.
Уравнением прямой l называется уравнение, содержащее переменные х, у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на l, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на l. Прямая однозначно определяется:
1) точкой и вектором, перпендикулярным l (нормальным вектором);
2) точкой и вектором, параллельным 
(направляющим вектором);
3) ее двумя точками;
4) угловым коэффициентом и начальной ординатой.
В каждомиз этих случаев получим соответствующий вид уравнения прямой.
Пусть прямая l (рис. 3.1) определена точкой M 1(x 1, y 1), лежащей на l, и нормальным вектором 
(т.е. 
); 
, (или, что то же самое, ={ A, B }).
Пусть М (х, у) – любая точка прямой. Тогда вектор 
перпендикулярен вектору 
, поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю (
= 0). Выражая это произведение через координаты сомножителей, получим:
, (3.1)
т.е. уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 1, у 1) перпендикулярно данному вектору = { A, B }.
Преобразуем уравнение (3.1). Раскрыв скобки и переставив слагаемые, получим:
.
Обозначим число (– Ах 1 – By 1) через С и получим:
(3.2)
– общее уравнение прямой.
Итак, уравнение прямой (3.1) является уравнением первой степени относительно переменных х, у (координат произвольной точки М, которые называются текущими координатами).
Покажем, что любое уравнение первой степени (3.2) есть уравнение некоторой прямой на плоскости 0 ху. Для этого приведем уравнение (3.2) к виду (3.1).
Если 
, то уравнение (3.2) равносильно уравнению:
.
Если 
, то уравнение (3.2) равносильно уравнению:
.
В любом случае получаем уравнение прямой, проходящей через некоторую точку, перпендикулярно известному вектору ={ A, B }.
Итак, уравнение (3.2) является уравнением некоторой прямой. Его коэффициенты А, В являются координатами нормального вектора.
Если в уравнении (3.2) С = 0, то прямая l проходит через начало координат. Если А = 0 (, 
), т.е. уравнение имеет вид у = у 1, (
), то прямая l параллельна оси 0 х. Если В = 0 (, ), т.е. уравнение имеет вид 
, (
), то прямая l параллельна оси 0 у. Уравнение у = 0 (А = С = 0) является уравнением оси 0 х, а уравнение 
(В = С = 0) – уравнением оси 0 y. Пусть прямая l (рис. 3.2) задана своей точкой M 1(x 1, y 1) и направляющим вектором 
. Тогда векторы 
коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.
. (3.3)
Полученное уравнение является уравнением искомой прямой l и называется каноническим.
Может оказаться, что вектор 
перпендикулярен одной из осей, тогда, либо
m = 0 
, либо n = 0 
. В этих случаях каноническое уравнение прямой все равно будем записывать соответственно в виде:
.
Пусть прямая l проходит через две заданных точки M 1(x 1, y 1) и M 2(x 2, y 2)
(рис. 3.3). Тогда векторы 
и 
коллинеарны, поэтому уравнение
(3.4)
является уравнением прямой, проходящей через точки М 1(х 1, у 1) и М 2(х 2, у 2).
Пусть прямая l пересекает оси координат в точках М 1(0, b), М 2(a, 0) (рис. 3.4). Запишем уравнение прямой l в виде (3.4) 
, отсюда получаем:
. (3.5)
Уравнение (3.5) называется уравнением прямой в отрезках (а и b – отрезки, отсекаемые прямой l на осях координат).
Пусть прямая l образует с осью 0 х угол 
(рис. 3.5) и проходит через точку М 1(х 1, у 1). Запишем каноническое уравнение прямой l, взяв в качестве направляющего вектора вектор = { m, n } единичной длины, который составляет с осью 0 х угол . Очевидно, что т = cos , n = sin и уравнение прямой l принимает вид:
Если 
(т.е. l неперпендикулярна оси 0 х), тоиз последнего уравнения получаем:
.
Пусть k = tg (это число называется угловым коэффициентом прямой), тогда можно записать
(3.6)
уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку М1(х1, у1).
Если в качестве точки М 1 взять точку М 0(0, b) пересечение прямой l с осью 0 у (рис. 3.6), то уравнение (3.6) примет вид:
. (3.7)
Полученное уравнение называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.
Пример 3.1. Записать всевозможные уравнения прямой, проходящей через точки М 1(2, –3) и М 2(1, 0) (рис. 3.7).
Решение. Используя уравнение (3.4), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2: 
, отсюда получаем:
– каноническое уравнение прямой. Сделав очевидные преобразования, получим:
– уравнение прямой l, проходящей через точку М 1(2, –3) перпендикулярно вектору = {3, 1}. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим общее уравнение прямой: 
. Наконец, выразив отсюда у, получим 
– уравнение с угловым коэффициентом 
и начальной ординатой 
.
Пример 3.2. Дано общее уравнение прямой l: 
. Найти отрезок, отсекаемый этой прямой от оси 0 у и угол между l и осью 0 х. Построить прямую l.
Решение. Решим данное уравнение относительно переменной у, получим:
– уравнение прямой l с угловым коэффициентом k = tg = –1 и начальной ординатой
b = 10/3. Значит, прямая l проходит через точку М 1(0, 10/3) и составляет с осью 0 х угол
= 
. По этим данным строим прямую l (рис. 3.8).