Решение. 1) Длина ребра A1A2 равняется расстоянию между точками A1 и A2, вычисляется по формуле:

1) Длина ребра A ₁ A ₂ равняется расстоянию между точками A ₁ и A ₂, вычисляется по формуле:

.

2) Найдем координаты векторов и , вычитая из координат конца каждого вектора соответствующие координаты начала:

По формуле (2.10) определяем косинус угла между векторами и :

, , .

При решении заданий пунктов 3, 4, 7, 8 полезно найти какой-либо вектор , перпендикулярный плоскости A ₁ A ₂ A ₃. В качестве такого вектора можно взять векторное произведение .

Найдем координаты векторов и

= {1 – 1; 2 – (–4); 2 – 1} = {0; 6; 1}.

Координаты вектора находим по формуле (1.5):

, = {5; –1; 6}.

На рис. 4.3 точка – проекция точки A ₄ на грань A ₁ A ₂ A ₃, – высота, опущенная из вершины A ₄ на грань A ₁ A ₂ A ₃.

3) Угол q – угол между ребром A ₁ A ₄ и гранью A ₁ A ₂ A ₃, y – угол между векторами и . Если эти векторы лежат по одну сторону плоскости A ₁ A ₂ A ₃, то (см. рис. 4.3)

, sin q = cos y,

а если по разные стороны, то

, sin q = –cos y.

Объединяем оба возможных случая единой формулой:

sin q = ½ cos y ½.

Следовательно,

= {2 – 1; 0 – (–4); 7 – 1} = {1; 4; 6},

.

Определим угол q:

;

q» 40^о12' (находим по таблицам).

4) Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах , поэтому площадь треугольника A ₁ A ₂ A ₃ (см. рис. 4.3) равна:

(eд²).

5) Объем пирамиды, построенной на векторах , равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Объем параллелепипеда, построенного на векторах, равен абсолютной величине смешанного произведения . Таким образом, используя формулу (2.13), находим объем пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A _4:

(ед³).

Этот объем можно найти и по другому, так как по определению смешанного произведения векторов = , то

(ед³).

6) Используя формулу (3.5), находим уравнение прямой A ₁ A ₂, проходящей через две заданные точки A ₁ и A ₂:

; .

7) Используя формулу (3.11), находим уравнение плоскости A ₁ A ₂ A ₃, проходящей через точку A ₁(1, –4, 1) перпендикулярно вектору {5; –1; 6}:

8) Используя формулу (3.15), находим уравнение высоты (см. рис. 4.3) как уравнение прямой, проходящей через точку A ₄(2, 0, 7) параллельно вектору {5; –1; 6}:

, .

Ответы: 1) 5, 099; 2) ; 3) ; 4) 3, 937; 5) 6, 167;

6) ; 7) ; 8) .

Контрольные вопросы

1. Перестановки. Число перестановок из n элементов. Утверждение об изменении четности перестановки при транспозиции.

2. Определители порядка n. Доказательство их свойств.

3. Миноры и алгебраические дополнения порядка k. Формулы разложения определителя по строке (столбцу). Теорема аннулирования.

4. Действия над матрицами. Обратная матрица. Вывод формулы для вычисления обратной матрицы.

5. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

6. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

7. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Линейные пространства. Базис и размерность линейного пространства.

9. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

10. Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Координаты вектора. Координатная запись вектора. Выражение длины вектора через его координаты.

11. Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Основные приложения.

12. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Основные приложения.

13. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл. Выражение через координаты сомножителей. Основные приложения.

14. Прямая на плоскости, различные виды уравнений.

15. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

16. Плоскость в пространстве, различные виды уравнений.

17. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

18. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений.

19. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве.

20. Эллипс. Вывод канонического уравнения. Исследование и построение.

21. Парабола. Вывод канонического уравнения. Исследование и построение.

22. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Исследование и построение.

23. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка.

24. Что называется матрицей?

25. Перечислите виды матриц и охарактеризуйте каждый из них.

26. Какие действия можно выполнять над матрицами?

27. Перечислите свойства операции умножения матриц.

28. Какие преобразования матриц называются элементарными?

29. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?

30. Могут ли совпадать матрицы А и А^Т?

31. Что называется обратной матрицей?

32. В чем заключается алгоритм нахождения обратной матрицы методом Гаусса?

33. На примере матрицы третьего порядка покажите реализацию алгоритма нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения.

34. Если матрица А неквадратная, может ли существовать такая матрица В, что:

а) ВА=Е?

б) АВ=Е?

35. Докажите, что если для квадратной матрицы А найдутся две такие матрицы В и С, что если ВА = АС = Е, то В=С.

36. Что называется определителем второго, третьего, п-го порядка?

37. Сформулируйте свойства определителей.

38. Покажите методы вычисления определителей (на примере определителей третьего порядка).

39. Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы?

40. Сколько всего миноров у квадратной матрицы п-го порядка?

41. Что называется минором матрицы А=(а_ij)?

42. Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам неквадратной матрицы?

43. Дайте определение алгебраического дополнения матрицы А=(а_ij).

44. Верно ли, что:

а) если , то ;

б) если , то ;

в) если , то ;

г) ?

45. Дайте определение ранга матрицы.

46. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? Меньше нуля? Равным 2, 5?

47. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?

48. Докажите, что у матрицы ранга, равного одному, все строки (столбцы) пропорциональны.

49. В чем заключается алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарных преобразований?

50. Сформулируйте и докажите теорему Кронекера-Капелли.

51. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

52. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.

53. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

54. К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

55. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих систем?

56. Докажите, что система п линейных уравнений с п-1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы.

57. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение методом Гаусса, но не имела решения с помощью формул Крамера?

58. Дайте определение системы линейных однородных уравнений.

59. Дайте определение фундаментальной системы решений линейных однородных уравнений.

60. Может ли количество решений, составляющих фундаментальную систему решений, быть больше числа неизвестных? равно?

61. Может ли частное решение однородной (неоднородной) системы линейных уравнений быть ее общим решением?

62. Фундаментальные системы решений двух однородных систем линейных уравнений совпадают. Равны ли матрицы однородных систем? Равны ли ранги этих матриц?

63. Верно ли, что сумма (разность) двух любых решений системы линейных уравнений также является ее решением, если система:

а) однородна;

б) неоднородна?

11. Список литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. – 176 с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 4–е изд. – М.: Наука, 1980. – 320 с.

3. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. – 4-е изд., перераб. – М.: Наука, 1978. – 208 с.

4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979. – 512 с.

5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии /Под ред.
Н.В. Ефимова. – 13-е изд. – М.: Наука, 1980. – 240 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980. – Ч.1, 2.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.

9. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975.

10. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.

11. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике. М.: Наука, 1986.

12. Зимина О.В., и др. Высшая математика. Решебник. М.: Физико-математическая литература, 2001.

13. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.: Лань, 2007.

14. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.

15. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.