Глоссарий основных понятий.

Алгебра — раздел математики, изучающий операции над элементами множеств произвольной природы, обобщающие обычные операции сложения и умножения чисел.

Верхне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, суть нули.

Вырожденная матрица — матрица, определитель которой равен нулю.

Главная диагональ матрицы — элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца.

Диагональная матрица — матрица, являющаяся одновременно и нижне- и верхне-треугольной.

Единичная матрица — квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, а прочие элементы суть нули.

Квадратная матрица — матрица, у которой число строк и столбцов совпадает.

Матрица — прямоугольная таблица чисел.

Матрица СЛАУ — матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, входящих в уравнения СЛАУ.

Матрица-столбец — матрица, состоящая из одного столбца.

Матрица-строка — матрица, состоящая из одной строки.

Матричное уравнение — уравнение, в котором в качестве неизвестного фигурирует матрица.

Минор элемента матрицы — определитель матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца, содержащих указанный элемент.

Невырожденная матрица — матрица, определитель которой отличен от нуля.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений — СЛАУ, у которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю.

Неопределённая СЛАУ — СЛАУ, имеющая неединственное решение.

Несовместная СЛАУ — то же, что и неразрешимая СЛАУ.

Неразрешимая СЛАУ — СЛАУ, не имеющая решений.

Нижне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы, стоящие выше главной диагонали, суть нули.

Нуль-матрица — матрица, все элементы которой суть нули.

Обратимая матрица — матрица, у которой существует обратная матрица.

Обратная матрица для некоторой матрицы — матрица, которая при перемножении с исходной матрицей дает единичную матрицу.

Общее решение СЛАУ — совокупность всех решений системы.

Однородная система линейных алгебраических уравнений — СЛАУ, у которой все свободные члены суть нули.

Определённая СЛАУ — СЛАУ, имеющая единственное решение.

Определитель матрицы — сумма произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком плюс или минус.

Ортогональные векторы — векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Приведённая матрица — матрица, у которой в каждой ненулевой строке существует хотя бы один ненулевой элемент, в столбце которого все элементы суть нули.

Приведённая СЛАУ — СЛАУ, у которой матрица системы приведенная.

Присоединённая матрица — матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной исходной матрицы.

Равносильные СЛАУ — системы, у которых общие решения совпадают.

Разрешимая СЛАУ — СЛАУ, имеющая хотя бы одно решение.

Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк матрицы.

Расширенная матрица СЛАУ — матрица СЛАУ, к которой добавлен столбец свободных членов уравнений системы.

Решение СЛАУ — набор значений неизвестных системы, обращающий все уравнения системы в числовые равенства.

Симметричная матрица — матрица, совпадающая со своей транспонированной.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — совокупность нескольких линейных алгебраических уравнений относительно одного набора неизвестных.

Скалярное произведение двух векторов — сумма произведений соответствующих координат этих векторов.

Совместная СЛАУ — то же, что и разрешимая СЛАУ.

Транспонированная матрица — матрица, в которой по отношению к исходной матрице строки и столбцы поменяны местами.

Элементарные преобразования матриц — три следующие преобразования строк матрицы:

- перемена местами двух строк матрицы;

- умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;

- прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на произвольное число.

Элементарные преобразования СЛАУ — три следующие преобразования уравнений системы:

-перемена местами двух уравнений системы;

-умножение обеих частей одного из уравнений системы на число, отличное от нуля;

-прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

точка - основное, неопределяемое понятие геометрии. При заданной системе координат однозначно определяется упорядоченной парой чисел (точка плоскости), упорядоченной тройкой чисел (трехмерное пространство) и далее - упорядоченным набором из n чисел (n-мерное пространство)

Целые числа -понятие, которое строится аксиоматически, опираясь на фундаментальное понятие натурального ряда. Целым числом называется класс эквивалентности множества всех упорядоченных пар натуральных чисел по отношению эквивалентности (a, b)==(c, d) < => a+d=b+c.

Целые чисоа образуют кольцо (см. далее).

прямая - основное, неопределяемое понятие геометрии. Состоит из точек. В заданной системе координат на плоскости задается уравнением первой степени от двух перемеррых Ax+By+C=0 или двух линейных уравнений, выражающих координаты (x, y) точек пряямой через параметр t - x=at+b, y=ct+d. Является пересечением двух плоскостей.

Рациональные числа - понятие. которое строится аксиоматически, опираясь на понятие целых чисел. Раиональным числом называется класс эквивалентности множества всех упорядоченных пар целых чисел по отношению эквивалентности (a, b)==(c, d)< => ad-bc=0. Рациональные числа образуют поле (см. далее).

плоскость - основное понятие геометрии. Состоит из точек, содержит прямые. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид Ax+By+Cz+D=0

угол- фигура на плоскости, состоящая из точки (вершина угла) и двух лучей, исходящих из этой точки. Измеряется в градусах или радианах.

скалярное произведение двух векторов в евклидовом пространстве по определению равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

длина- основное понятие евклидова пространства. Определяется аксиоматически. При заданном скалярном произведении длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя; длина отрезка AB равна длине вектора, задаваемого этим отрезком.

векторное произведение двух векторов x, y в ориентируемом евклидовом пространстве равно вектору z, длина которого равна площади паралелограмма, построенного на этих векторах, направление которого перпердикулярно плоскости векторов x, y и из двух оставшихся возможностей выбрано так, чтобы три вектора x, y, z были орентированы так же, как и векторы базиса.

поворот - движение в плоскости (поворот вокруг точки O) и пространстве. (вокруг прямой). Если на плоскости выбрана полярная система координат с полюсом в точке O, то поворот описывается переходом от точки с координатами (r, fi) в точку с координатами (r, fi+psi). Поворот является движением. Всякий поворот может быть представлен как суперпозиция двух отражений.

параллельный перенос на заданный вектор p- преобразование аффинного пространства, при котором каждая точка x перехожит в точку x+p. В простейшем случае параллельного переноса плоскости координаты исходной (x, y) точки и координаты преобразованной (x', y') точки связаны формулами x'=x+a, y'=y+b, где -координаты вектора

Отражение - преобразование евклидова пространства, определенное следующим образом. Пусть X исходная точка, а p- прямая или плоскость. относительно которой происходит отражение. Пусть X'- проекция точки X на p. По определению образом точки X при отражении считается точка X+2(XX').

однородность - свойство группы преобразований, действующей на некотором множестве, заключающееся в том, что любые две точки могут быть переведены (первая во вторую) преобразованиями из данной группы.

изотропность -свойство группы преобразований, действующей на некотором множестве, заключающееся в следующем. Для всяких трех точек X, Y, Z с условием, что расстояния XY и XZ одинаковы, существует преобразование группы, переводящее X в X, а Y в Z.

линейное пространство - множество элементов, называемыми векторами, с двумя операциями- сложения векторов x, y и умножения вектора на число a с выполнением тождеств a(x+y)=ax+ay (и другими " естественными" тождествами сложения и умножения)

аффинное пространство - множество A элементов, называемых точками, вместе с линейным пространством V, называемым пространством параллельных переносов; требуется существование отображений (A, A)--> V, (A, V)--> A с естественными свойствами. (Каждой паре точек из A соответствует вектор из V и от каждой точки из A можно отложить вектор из V.)

линейное преобразование - отображение A линейного пространства в себя с выполнением условий A(x+y)=Ax+Ay, A(ax)=aAx для произвольных векторов x, y и произвольного чисда a.

кривая второго порядка - кривая на плоскости, координаты точек (x, y) которой удовлетворяют уравнению Ax^2+2AB x y+C y^2+2Dx+2Ey +F=0.

окружность - кривая на плоскости с уравнением (x-a)^2+(y-b)^2=r^2; здесь a, b- координаты центра окружности, r- радиус окружности.

эллипс - кривая на плоскости с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2=1; здесь a, b -- большая и малая полуоси эллипса.

парабола - кривая на плоскости с каноническим уравнением y^2=2px; здесь p- параметр параболы.

гипербола - кривая на плоскости с каноническим уравнением x^2/a^2-y^2/b^2=1; здесь a, b -- большая и малая полуоси гиперболы. Пара прямых y=(b/a)x, y=-(b/a)x являются асимптотами гиперболы.

поверхность второго порядка - поверхность в трехмерном пространстве, координаты точек (x, y, z) которой удовлетворяют уравнению Ax^2+2Bxy+2Cxz+Dy^2+2Eyz+Fz^2+2Gx+2Hy+2Iz+J=0

эллипсоид - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1; здесь a, b, c- полуоси эллипсоида.

гиперболоид однополостный -поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1; здесь a, b, c- полуоси однополостного гиперболоида.

гиперболоид двуполостный -поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1; здесь a, b, c- полуоси двуполостного гиперболоида.

эллиптический параболоид - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2+y^2/b^2=2px; здесь a, b- полуоси эллиптического параболоида.

параболоид гиперболический - поверхность с каноническим уравнением x^2/a^2-y^2/b^2=2px; здесь a, b- полуоси гиперболического параболоида.

мнимый эллипс - уравнение второго порядка от двух переменных с каноническим видом x^2/a^2+y^2/b^2=-1

мнимый эллисоид -уравнение второго порядка от трех переменных с каноническим видом x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=-1

матрица - прямоугольная таблица M чисел; число, стоящее на месте i, j обозначается через M_ij.

собственный вектор x линейного преобразования A - ненулевой вектор, который вместе с некоторым числом l удовлетворяет условию Ax=lx.

собственное значение. Если для некоторого линейного преобразования A, некоторого ненулевого вектора x и некоторого числа l выполняется равенство Ax=lx, то число l называется собственным значением линейного преобразования A, соответствующим (собственному) вектору x.

ортогональное преобразование - линейное преобразование A евклидова линейного пространства, сохраняющее скалярное произведение. Для всяких двух векторов x, y имеет место (x, y)=(Ax, Ay).

билинейная форма - функция B(x, y) от двух векторных аргументов x, y, линейная по каждому из них т.е. B(x+y, z)=B(x, z)+B(y, z); B(ax, y)=aB(x, y); B(x, y+z)=B(x, z); B(x, ay)=aB(x, y) для любых трех векторов x, y, z и любого числа a.

квадратичная форма- функция F (x) от векторного аргумента x, заданная формулой F(x)=B(x, x), где B-, билинейная форма.

проективная плоскость -множество ненулевых векторов V трехмерного пространства " с точностью до коллинеарности", т.е. множество классов эквивалентности V по отношению коллинеарности.

проективные координаты - координаты вектора, рассмотренные " с точностью до постоянного множителя".

проективное преобразование - преобразование проективного пространства, сохраняющее двойное отношение четырех точек. двойное отношение четырех точек (A, B, C, D) на проективной прямой- число (или символ бесконечности). равное (AD)(BC)/(AC)(BD).Здесь A, B, C, D означают проективные координаты точек A, B, C, D прямой, а (P, Q) означает определитель второго порядка, составленный из проективных координат точек P, Q.

овал -фигура проективной плоскости с каноническим уравнением x^2+y^2-z^2=0.

аффинная классификация кривых или поверхностей второго порядка-классификация по отношению аффинной эквивалентности. Две кривые (поверхности) второго порядка называются аффинно эквивалентными, если существуют две системы аффинных координат, в которых кривые (поверхности) имеют одинаковые уравнения.

ортогональная (евклидова) классификация - кривых или поверхностей второго порядка-классификация по отношению ортогональной (евклидовой) эквивалентности. Две кривые (поверхности) второго порядка называются ортогонально (евклидово) эквивалентными, если существуют две системы ортогональных (евклидовых) координат, в которых кривые (поверхности) имеют одинаковые уравнения.

проективная классификация кривых или поверхностей второго порядка-классификация по отношению проективной эквивалентности. Две кривые (поверхности) второго порядка называются проективно эквивалентными, если существуют две системы проективных координат, в которых кривые (поверхности) имеют одинаковые уравнения.

инверсия с центром в точке O и радиусом R - преобразование расширенной плоскости комплексного переменного, определенное формулами x'=a+R^2/(y-b); y'=b+R^2/(x-a). Здесь a, b- координпты точки O, x, y- координаты исходной точки, а x', y'- координаты преобразованной точки. При инверсии сохпаняются углы между кривыми.Инверсия является инволюцией.

ортогональная матрица - квадратная матрица A, обратная к которой совпадает с транспонированной. Ортогональная матрица задает ортогональное преобразование в ортонормированном базисе.

асимптота гиперболы -прямая линия, расстояние от текущей точки которой до ближайшей точки гиперболы стремится к нулю. Если гипербола задана каноническим уравнением, то уравнения асимптот имеют вид y=(b/a)x, y=-(b/a)x. фокус. Кривые второго порядка- эллипс. гипербола, парабола имеют особые точки, называемые фокусами.По определению эллипс (гипербола) есть множество точек плоскости, сумма (разность) расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами есть величина постоянная. Параболой называется множество точек плокости для каждой из которых расстояние до фиксированной точки, называемой фокусом, и фикси действует группарованной прямой, называемой директрисой, одинаковы.

Инвариант - функция от координат точек пространства, на котором действует группа преобразований, не изменяющая своих значений под действием группы.

эйлерова характеристика многогранника. Пусть многогранник имеет Г грпней, Р ребер, В вершин. Тогда Эйлерова характеристика многогранника равна В-Р+Г.Эйлерова характеристика многогранника является топологическим инвариантом.

Многочлен - линейная комбинация одночленов.Рассматривают многочлены от одного или нескольких переменных.Многочлены представляют собой кольцо относительно естественных операций сложения и умножения многочленов.

Группа - множество элементов G вместе с операцией умножения (*), удовлетворяющими следующим условиям 1) ассоциативность умножения a*(b*c)=(a*b)*c для любых трех элементов из G, 2) существование единицы, т.е. такого элемента e из G, что e*g= g для всякого g из G, 3) существование обратного элемента: для всякого g из G существует g' такой, что g*g'=e.

Подгруппа - подмножество в группе, замкнутое относительно групповой операции.

Нормальная подгруппа в группе G- подгруппа H такая, что g*h*g' принадлежит H при любом h из H и g из G (g' означает элемент обратный к g).