Билинейная модель с кинематическим упрочнением

Эта модель используют критерий текучести по фон Мизесу, ассоциированный закон текучести и кинематическое упрочнение.

Эквивалентные напряжения (4.4) в данном случае записываются как:

. (4.24)

Заметим, что в выражении (4.24) присутствуют девиаторные напряжения, т.е. текучесть не зависит от гидростатического давления.

В случае, если эквивалентные напряжения σ _e равны пределу текучести σ _y критерий текучести можно записать в следующем виде:

. (4.25)

Для ассоциированного закона текучести имеем:

, (4.26)

причем приращение пластических деформаций идет по нормали к поверхности текучести. Выражение закона текучести через критерий фон Мизеса известно как уравнение текучести Прандтля-Реусса.

Перемещение поверхности текучести определим как:

, (4.27)

где G – модуль сдвига;

E – модуль упругости;

μ – коэффициент Пуассона;

{ ε ^sh } – сдвиговые деформации, определяемые на каждом шаге интегрирования по формуле:

. (4.28)

Приращение сдвиговых напряжений вычисляется как:

, (4.29)

причём

, (4.30)

в котором E_T – касательный модуль;

E – модуль упругости.

Начальные сдвиговые деформации { ε ^sh } принимаются равные нулю и меняются за счет последующего пластического деформирования.

Приращение эквивалентных пластических деформаций получается по формуле (4.23), а сами эквивалентные пластические деформации вычисляются также по известной (4.17) формуле:

.

Эквивалентные пластические напряжения определяются следующим образом:

. (4.31)

Отметим, что в случае отсутствия пластического деформирования ( = 0) эквивалентные пластические напряжения соответствуют пределу текучести материала. Параметр приобретает смысл при возникновении монотонно увеличивающейся нагрузки. Если после пластического нагружения направление нагрузки меняется, и эквивалентные напряжения при этом σ _e падают ниже предела текучести, то значение остаётся прежним (т.е. выше предела текучести), поскольку эквивалентные пластические деформации уже имеют историю и не равны нулю.