Теоретические основы. В общем случае функция напряжений для вязкоупругого материала имеет интегральный вид

В общем случае функция напряжений для вязкоупругого материала имеет интегральный вид. В контексте теории малых деформаций определяющее уравнение для изотропного вязкоупругого материала может быть записано в следующей форме:

, (4.60)

где σ – напряжения по Коши;

e – девиаторная часть деформаций;

δ – объемная часть деформаций;

I – единичный тензор;

– ядро релаксации для модуля сдвига;

K(t) – ядро релаксации для объемного модуля;

t – текущее время;

τ – прошлое время.

Ядра релаксации раскладываются в ряды Прони:

, (4.61)

, (4.62)

где i – номер члена ряда Прони;

G_i и K_i – члены ряда Прони для модулей сдвига и объемного сжатия соответственно;

G_∞ и K_∞ – финальные модули сдвига и объемного сжатия соответственно;

nG и nK – число членов ряда Прони для модулей сдвига и объемного сжатия соответственно;

τ _i^G и τ _i^К – время релаксации для соответствующего члена ряда Прони.

Введем начальный (мгновенный) модуль сдвига и объемный модуль начальный (мгновенный) , равные:

, (4.63)

, (4.64)

и относительные модули, равные:

, (4.65)

. (4.66)

Очевидно, что ядра релаксации могут быть представлены в следующем виде:

, . (4.67)

Интегральная функция (4.60) соответствует упругому поведению материала при очень быстрой и очень долгой нагрузке. Мгновенные модули и отвечают за упругое поведение при быстротечном воздействии, а финальные модули G_∞ и K_∞ – при очень долгом нагружении (см рисунок 4.10). А в соответствии с (4.67) происходит релаксация девиаторной и объемной составляющих напряжений.

Количество членов ряда Прони для модулей сдвига и объемного сжатия nG и nK может быть различным, также как и времена релаксации τ _i^G и τ _i^К могут не совпадать.

В практике численного моделирования иногда используют упрощенную вязкоупругую модель поведения материала:

, (4.68)

где β – коэффициент релаксации.

Рисунок 4.10 - Ядро релаксации модуля сдвига G (типичное для твердого ракетного топлива)