Задача №12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке s w:ascii=Cambria Math w:h-ansi=Cambria Math w:cs=Times New

Найдите наименьшее значение функции на отрезке s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" w: cs=" Times New Roman" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: spacing w: val=" -20" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: bidi=" AR-SA" /> < /w: rPr> < m: t> 4; 6< /m: t> < /m: r> < /m: e> < /m: d> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> .

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Видим, что производная равна нулю при x₁=0 и x₂=5

Заметим, что при х ∈ [4; 5) производная y´ (x)< 0 и значит функция убывает при х ∈ (5; 6] производная y´ (x)> 0 и значит функция возрастает

То есть при х = 5 y´ (x) меняет знак с - на +, значит при х = 5 наименьшее значение: у(5) = (5² - 7*5 + 7) * е^5-5 = (25 - 35 + 7) * е⁰ = -3*1 = -3.

Ответ: -3.