Формула бинома Ньютона

Выведем формулу, позволяющую возводить двучлен (бином) (а+b) в любую целую неотрицательную сте­пень. Это формула бинома Ньютона. Она имеет следующий вид:

.

Докажем данную формулу методом математической индукции по n, где n ≥ 0.

1. Формула верна при n = 0, 1, 2. В самом деле,

;

; ;

2. Пусть формула верна при n = k. Докажем ее при n = k + 1.

.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по степеням а, получим:

.

С учетом свойства 4 и того, что и , имеем:

Итак, индукция завершена, значит истинность формулы доказана.

В формуле бинома Ньютона для (а + b)ⁿ сумма степеней а и b в каждом слагаемом равна n. Числа называются биномиаль­ными коэффициентами. При вычислении биномиальных коэффициен­тов удобно применять треугольник Паскаля.

В качестве примера найдем: а) (a + b)⁵; б) (х²-1)⁴:

а)

;

б)

Легко убедиться, что хорошо известные формулы сокращенного ум­ножения для (a + b)² и (a + b)³ представляют собой частные случаи фор­мулы бинома Ньютона.

Упражнения

1. Докажите:

а) ;

б) ;

в) .

2. Напишите разложение по формуле бинома Ньютона и упростите при необходимости:

а) (a + b)⁴; б) (a ― b)⁴; в) (a + 2b)⁵; г) (a – 2b)⁵;

д) (1 + 2x)⁵; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ; м) ;

н) ; о) ; п) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

3. Найдите:

а) шестой член разложения (1 ― 2z)²¹;

б) шестой член разложения ;

в) пятый член разложения ;

г) пятый член разложения ;

д) два средних члена разложения (a³-ab)²³;

е) в разложении член, не содержащий x;

ж) в разложении член, не содержащий z;

з) в разложении коэффициент при а⁸;

и) в разложении коэффициент при х⁴;

к) x, если третий член разложения (х + x^{lg x})⁵ равен 10⁶.