![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Соответствия и отношения
Основные знания, умения и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения этой темы: · понимать смысл неопределяемых понятий «соответствие», «отношение»; · знать свойства соответствий и отношений, уметь их определять и приводить конкретные примеры; · знать основные типы соответствий и отношений. Основные понятия темы: соответствие, отношение. Пусть даны два произвольных множества A и B. О п р е д е л е н и е 1. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида Символически это множество записывают так:
П р и м е р 1: Если А={1, 2, 3}, а В={0, 4}, то
Видим, что в общем случае Пусть даны два произвольных множества X, Y.
Тройка множеств Если З а м е ч а н и е: Часто понятие бинарного соответствия определяют как любое подмножество А множества Множество Множество П р и м е р 1. Пусть П р и м е р 2: Пусть
Множество Множество Из определения П р и м е р 3: Пусть X ― множество студентов в аудитории, У ― множество столов, за которым они сидят. Зададим соответствие х f у «студент x сидит за столом y». Тогда: 1. Областью отправления этого соответствия будет множество всех студентов в аудитории; 2. Областью определения ― множество студентов, которые сидят за столами; 3. Областью прибытия ― множество столов в аудитории. 4. Областью значений ― множество столов, за которыми сидит хотя бы один студент; 5. Графиком соответствия будет множество пар «студент- стол» 6. Полным прообразом студента х будет стол, за которым он сидит; 7. Полным прообразом стола у будут все студенты, которые за ним сидят. П р и м е р 4:
Этот рисунок задает соответствие между множествами:
График этого соответствия Из рассмотренных выше примеров видно, что соответствие может быть задано: а) путем указания подмножества б) аналитически; х f у в) с помощью графов или таблиц. Графом называют множество точек, некоторые пары из которых соединены линиями с направлениями (см. пример 4). Операции над соответствиями Понятие бинарного соответствия тесно связано с понятием двухместного предиката. Если Р(х, у) ― двухместный предикат, в котором переменная х пробегает множество X, переменная у ― множество У, а Т ― множество истинности этого предиката, то тройка множеств Связь между понятиями двухместного предиката и бинарного соответствия та же, что и между характеристическим свойством (одноместным предикатом) и множеством. Эта связь позволяет перенести на соответствия все понятия, рассмотренные в предыдущем параграфе для предикатов. Пусть даны два соответствия: Например, для соответствия «х f у ⇔ х < у» противоположным будет соответствие «х f у ⇔ х ≥ у». Действительно, графики этих соответствий ― взаимно дополняющие множества
Объединением соответствий f и g называют соответствие, графиком которого является объединение графиков А и В Аналогично определяется пересечение соответствий. Например, для соответствий «хfу Для каждого соответствия Можно сказать, что граф соответствия f -1 получается из графа соответствия f изменением направления всех стрелок. Например, если х f у ⇔ «прямая х касается окружности у», то у f -1 x ⇔ «окружность у касается прямой х». Определим операцию композиции двух соответствий
Обозначим через С график композиции соответствий f и g. Тогда
На «языке» графов это означает, что точки (х) и (z) соединяются стрелками в том случае, если соединены стрелками точки (х) и (у), (у) и (z). Короче ― П р и м е р: Пусть хfу ⇔ «у=х2», ygz ⇔ «z=y+2». Тогда х(fg)z ⇔ «z = х2 + 2».
|