Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства и типы соответствий
Виды соответствий Соответствие называется всюду определенным на множестве X, если: а) , то есть: : у=f(x), или на «языке» полного образа элемента; б) , или на «языке» графов; в) из каждого элемента множества X выходит стрелка и приходит в Y. Соответствие называют сюръективным, если: а) , то есть : хfу ⇔ у=f(x), или на языке полного прообраза; б) , или на «языке» графов; в) в каждый элемент множества Y приходит стрелка из X. Если f ― всюду определенно на X, то f -1 ― сюръективное соответствие Y на X, если f ― сюрьективно, то f -1 всюду определенно на Y. Соответствие f называют функциональным, если: а) R(x) содержит не более одного элемента, то есть ; Соответствие f называется инъективным, если: а) содержит неболее одного элемента, то есть ; б) на «языке» графов это означает, что в каждый элемент множества Y приходит не более одной стрелки. Из этих определений следует, что соответствие, обратное функциональному, ― инъективно, а обратное инъективному ― функционально. Если f и g ― всюду определенные, функциональные, инъективные и сюръективные соответствия, то ― тоже будет обладать всеми этими свойствами. П р и м е р 1: Соответствие на рисунке
а) не всюду определено; б) функционально; г) сюръективно. П р и м е р 2: Пусть X ― множество студентов в аудитории. Y ― множество стульев. Зададим соответствие x f y «студент x сидит на стуле y». Это соответствие будет:
а) всюду определенным, если каждый студент будет сидеть; б) сюрьективным, если все стулья заняты; в) функциональным, если каждый студент не сидит на двух стульях; г) инъективным, если на каждом стуле не сидят два студента. П р и м е р 3: Пусть х f у (у = sin х), X = R, Y = R. Тогда графиком этого соответствия будет синусоида:
Соответствие это будет: а) всюду определено, так как : (у = sin х) (любая прямая, параллельная оси ОY, пересекает график функции хотя бы в одной точке). б) функционально, так как состоит из одного элемента (любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает график функции в единственной точке). в) не инъективно, так как , для которых R -1(у) состоит более чем из одного элемента (существуют прямые, параллельные оси ОХ, которые пересекают график множество раз). г) не сюръективно, так как , для которых не существует х: у=sinx (существуют прямые, параллельные оси ОХ, которые не пересекают график ни в одной точке). Рассмотренные выше свойства соответствий (инъективность, сюръективностъ и т.п.) позволяют классифицировать все соответствия на определенные типы. Приведем классификацию соответствий по свойствам в виде таблицы:
Из этой таблицы видно, например, что отображение ― это всюду определенное функциональное соответствие. П р и м е р 4: Отображение сюръективно и инъективно, так как: из того, что и . Следовательно, соответствие ― биекция.
|