Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовых множествах
Важными свойствами бинарной операции являются свойства ассоциативности, коммутативности, существования нейтрального элемента (левого, правого, двухстороннего), существования обратного элемента (левого, правого, двухстороннего), наличие нулей и идемпотентов. Сформулируем основные свойства бинарных операций в виде условий, называемых также аксиомами: А1. Аксиома ассоциативности: а, b, с А, (а * b) * с = а * (b * c); А2. Аксиома коммутативности: а, b А, а * b = b * a; A3. Аксиома существования левого нейтрального элемента: e' A | a A, e' * a = a; A4. Аксиома существования правого нейтрального элемента: e'' A | a A, a * e''= a; А5. Аксиома существования нейтрального элемента (двухстороннего): е А | а А, е * а = а * е = а; А6. Аксиома левого симметричного элемента: a A а' А | а' * а = e; А7. Аксиома правого симметричного элемента: a A а'' А | а * а'' = e; А8. Аксиома существования симметричного элемента (двухстороннего): a A А | * а = а * = е. О п р е д е л е н и е 4: Говорят, что бинарная операция * на множестве А: · коммутативна, если выполняется условие А2, · ассоциативна, если выполняется условие А1`, · обладает нейтральным элементом (левым, правым), если выполняется А5 (A3, А4), · обратима (слева, справа), если выполняется А8 (А6, А7). П р и м е р 4. Исследовать свойства бинарной операции *, заданной на множестве Q по правилу: a, b Q, а * b = а – ab + 1. Р е ш е н и е: 1. Проверка условия выполнимости. Так как сумма, произведение, разность рациональных чисел являются рациональными числами, то результат операции а – ab + 1 есть рациональное число. Операция * выполнима на Q. 2. Проверка условия однозначности. Операции сложения, умножения, вычитания рациональных чисел ― однозначны. Следовательно, и операция *, которая определяется через них, будет однозначной. 3. Проверка аксиомы ассоциативности. Возьмем любую тройку элементов а, b, с из множества Q и проверим выполнимость равенства: (а * b) * с = а * (b * с). Раскрывая левую часть этого равенства, получаем: (а * b) * с = (а – ab + 1) *c = (a – ab +1) – (a – ab + 1)с+1 = = a – аb – aс + abc – c + 2. Раскрывая правую часть рассматриваемого равенства, получаем: а * (b * с) = а * (b ― bc + 1) = а ― а(b ― bc + 1) + 1 = =1– ab+ abc. Результаты различны, поэтому операция * неассоциативна. 4. Проверка аксиомы коммутативности: а, b Q, а * b = b * a. Так как a*b = a–ab+1, b*a= b – ba + 1, то при а b результаты различны. Итак, операция * некоммутативна. 5. Проверка наличия нейтральных элементов: а) Из аксиомы A3 имеем: х * а = а или х – ха + 1 = а, откуда х = –1. Следовательно, существует левый нейтральный элемент е' =1. б) Из аксиомы А4 имеем: а * х = а или а – ах + 1 = а, откуда . Здесь х зависит от а. Следовательно, правого нейтрального элемента нет. в) Из пунктов а) и б) следует, что нейтрального (двухстороннего) элемента нет. 6. Проверка наличия симметричных элементов. Для выполнения аксиом А6 и А7 необходимо наличие двухстороннего нейтрального элемента e относительно заданной операции. Так как такой элемент отсутствует, то операция * не обладает симметричными элементами. Упражнения 1. Является ли операцией и какого ранга вычитание на множестве R? В случае положительного ответа перечислить основные свойства операции. 2. Исследовать свойства операции *, заданной на множестве R формулами: а) а * b = (а + b)2; б) а * b = а2 +1; в) а * b = 2а + b –1; г) а * b = ab–a+b; д) а * b = ab; е) а * b = a2b–ab2.
1. Доказать: 1) ; 2) А \ (В С) = ((А \ В) \ С); 3) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C); 4) А \ В = А \ (В А); 5) А \ (А \ В) = А В; 6) А (В \ С) = (А В) \ (А С); 7) А В = А (В \ А); 8) (А В) \ С = (А \ С) (В \ С); 9) ( В) А=A B; 10) (А \ В)\С = (А\С)\ (В\С). 2. Построить таблицу истинностных значений данных формул исчисления высказываний: 1) А & ∨ ; 6) A∨ C; 2) A ∨ ( ); 7) & C; 3) (А В) ∨ A; 8) A ∨ ; 4) А & ; 9) A& (B C); 5) (A B)& (A∨ C); 10) A B . 3. Построить отрицание следующих формул: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 4. Какими свойствами обладает данное соответствие на множестве R? 1) f: R R, f: x kx + b; 2) f: R R, f: x x3; 3) f: R R, f: x ; 4) f: R R, f: x |x|; 5) f: R R, f: x sin x; 6) f: R R, f: x cos x; 7) f: R R, f: x tg x; 8) f: R R, f: x ctg x; 9) f: R R, f: x lg x; 10) f: R R, f: x ax, a R. 5. Какими свойствами обладает данное отношение на множестве R? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 6. Доказать методом математической индукции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
|