Числовых множествах

Важными свойствами бинарной операции являются свойства ассоциативности, коммутативности, существования нейтрального элемента (ле­вого, правого, двухстороннего), существования обратного элемента (левого, правого, двухстороннего), наличие нулей и идемпотентов. Сформулируем основные свойства бинарных операций в виде условий, называемых также аксиомами:

А1. Аксиома ассоциативности:

а, b, с А, (а * b) * с = а * (b * c);

А2. Аксиома коммутативности:

а, b А, а * b = b * a;

A3. Аксиома существования левого нейтрального элемента:

e' A | a A, e' * a = a;

A4. Аксиома существования правого нейтрального элемента:

e'' A | a A, a * e''= a;

А5. Аксиома существования нейтрального элемента (двухстороннего):

е А | а А, е * а = а * е = а;

А6. Аксиома левого симметричного элемента:

a A а' А | а' * а = e;

А7. Аксиома правого симметричного элемента:

a A а'' А | а * а'' = e;

А8. Аксиома существования симметричного элемента (двухстороннего):

a A А | * а = а * = е.

О п р е д е л е н и е 4: Говорят, что бинарная операция * на множестве А:

· коммутативна, если выполняется условие А2,

· ассоциативна, если выполняется условие А1`,

· обладает нейтральным элементом (левым, правым), если выполняется А5 (A3, А4),

· обратима (слева, справа), если выполняется А8 (А6, А7).

П р и м е р 4. Исследовать свойства бинарной операции *, заданной на множестве Q по правилу:

a, b Q, а * b = а – ab + 1.

Р е ш е н и е:

1. Проверка условия выполнимости. Так как сумма, произведение, разность рациональных чисел являются рациональными числами, то результат операции а – ab + 1 есть рациональное число. Операция * вы­полнима на Q.

2. Проверка условия однозначности. Операции сложения, умножения, вычитания рациональных чисел ― однозначны. Следовательно, и опе­рация *, которая определяется через них, будет однозначной.

3. Проверка аксиомы ассоциативности. Возьмем любую тройку элементов а, b, с из множества Q и проверим выполнимость равенства: (а * b) * с = а * (b * с). Раскрывая левую часть этого равенства, получаем:

(а * b) * с = (а – ab + 1) *c = (a – ab +1) – (a – ab + 1)с+1 =

= a – аb – aс + abc – c + 2.

Раскрывая правую часть рассматриваемого равенства, получаем:

а * (b * с) = а * (b ― bc + 1) = а ― а(b ― bc + 1) + 1 =

=1­– ab+ abc.

Результаты различны, поэтому операция * неассоциативна.

4. Проверка аксиомы коммутативности:

а, b Q, а * b = b * a.

Так как a*b = a­–ab+1, b*a= b – ba + 1, то при а b результаты различны. Итак, операция * некоммутативна.

5. Проверка наличия нейтральных элементов:

а) Из аксиомы A3 имеем: х * а = а или х – ха + 1 = а, откуда х = –1. Следовательно, существует левый нейтральный элемент е' =1.

б) Из аксиомы А4 имеем: а * х = а или а – ах + 1 = а, откуда . Здесь х зависит от а. Следовательно, правого нейтрального элемента нет.

в) Из пунктов а) и б) следует, что нейтрального (двухстороннего) элемента нет.

6. Проверка наличия симметричных элементов.

Для выполнения аксиом А6 и А7 необходимо наличие двухстороннего нейтрального элемента e относительно заданной операции. Так как такой элемент отсутствует, то операция * не обладает симметричными элементами.

Упражнения

1. Является ли операцией и какого ранга вычитание на множестве R? В случае положительного ответа перечислить основные свойства операции.

2. Исследовать свойства операции *, заданной на множестве R формулами:

а) а * b = (а + b)²; б) а * b = а² +1;

в) а * b = 2а + b –1; г) а * b = ab–a+b;

д) а * b = a^b; е) а * b = a²b–ab².

Зачетная контрольная работа

1. Доказать:

1) ;

2) А \ (В С) = ((А \ В) \ С);

3) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C);

4) А \ В = А \ (В А);

5) А \ (А \ В) = А В;

6) А (В \ С) = (А В) \ (А С);

7) А В = А (В \ А);

8) (А В) \ С = (А \ С) (В \ С);

9) ( В) А=A B;

10) (А \ В)\С = (А\С)\ (В\С).

2. Построить таблицу истинностных значений данных формул исчисления высказываний:

1) А & ∨ ; 6) A∨ C;

2) A ∨ ( ); 7) & C;

3) (А В) ∨ A; 8) A ∨ ;

4) А & ; 9) A& (B C);

5) (A B)& (A∨ C); 10) A B .

3. Построить отрицание следующих формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

4. Какими свойствами обладает данное соответствие на множестве R?

1) f: R R, f: x kx + b;

2) f: R R, f: x x³;

3) f: R R, f: x ;

4) f: R R, f: x |x|;

5) f: R R, f: x sin x;

6) f: R R, f: x cos x;

7) f: R R, f: x tg x;

8) f: R R, f: x ctg x;

9) f: R R, f: x lg x;

10) f: R R, f: x a^x, a R.

5. Какими свойствами обладает данное отношение на множестве R?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

6. Доказать методом математической индукции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .