Операции на множествах и их свойства

Основные знания, умения, и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения данной темы:

· знать основные операции на множествах;

· знать определение бинарной операции на множестве;

· знать и понимать свойства бинарных операций.

Основные понятия темы: n- арная операция, бинарная операция.

О п р е д е л е н и е 1: Отображение множества Аⁿ в множество А называется n-арной (n-местной) операцией f, заданной на множестве А. Число n называется рангом операции.

Из этого определения следует, что n- арная операция является всюду определенным, функциональным соответствием, т.е. всюду определенной функцией n переменных со значением из множества А.

Действие этой функции на элементы множества А обозначают так:

Элементы называют операндами, а значение функции ― результатом операции f.

В частности, при n = 0 операцию f называют нуль-арной, ее смысл состоит в том, что на множестве А выделяется (фиксируется) некоторый элемент. При n = 1 операцию f называют унарной, она является отображе­нием f: А А. При n = 2 ― бинарной, она является отображением f: А² А. При n = 3 ― тернарной, она представляет собой отображение f: А³ А.

Например, нуль-арными операциями будут: операция фиксации 1 на множестве N натуральных чисел, или операция фиксации 0 на множестве Z целых чисел; унарными операциями являются операция возведения в целую степень, а⟼ аⁿ на множестве Q рациональных чисел, или операция взятия противоположного элемента а ⟼ (-а) на множестве Z целых чисел.

В математике чаще всего рассматриваются бинарные операции. Ре­зультат бинарной операции f(a, b) обычно записывают в виде a f b. Вместо буквы f в конкретных случаях используют специальные знаки и символы:

+, –, ∙,: ― для операций над числами;

, , \ ― для операций над множествами;

&, ∨, , ― для операций над высказываниями;

∘ ― для композиции отображений.

Из определения n- арной операции следует, что соответствие
f: А² А является бинарной операцией тогда и только тогда, когда истинны следующие условия:

1. (а, b) А² с А | a f b = с ― условие выполнимости операции на множестве (всюду определенности).

2. (а, b) А² с, d A | (a f b = с) & (a f b = d) (с = =d) ― условие однозначности операции (функциональности).

З а м е ч а н и е. Если условие 2) не соблюдается, т.е.

3. (а, b) А² с, d A | (a f b = с) & (a f b = d)& (с d), то соответствие f не является операцией, более того ― отображением.

Если не соблюдается условие 1), соответствие f не является всюду определенным, т.е. (а, b) А² | с A, (a f b c) или (а, b) А² | (a f b = с) & (с A), то мы приходим к следующему определению:

О п р е д е л е н и е 2: Функцию f: А² А называют частичной бинарной операцией на множестве А (частично выполнимой на множестве А операцией), если она не является всюду определенной.

П р и м е р 1: Арифметическая операция вычитания целых чисел на множестве натуральных чисел N не всегда выполнима, так как (а, b) N² | (a-b) N, то есть эта операция ― частична. В то же время она ― однозначна, так как

(а, b) N² с, d N | (a – b = с) & (a – b = d) (с = d)

П р и м е р 2: Арифметическая операция деления рациональных чисел на множестве Z целых чисел также частично выполнима. Например, ре­зультат деления целых чисел 3 и 5 не является целым числом.

О п р е д е л е н и е 3: Если на множестве А задана бинарная операция * и непустое подмножество В множества А таково, что а, b В, а * b В, т.е операция *, заданная на А, выполнима на его подмножестве В, то такое подмножество В называется замкнутым относительно операции *. В этом случае говорят также, что операция * не выводит за пределы множества В.

П р и м е р 3. Относительно операции умножения целых чисел множе­ство всех положительных целых чисел замкнуто, а множество всех отрица­тельных целых чисел незамкнуто.

Иногда свойство замкнутости множества относительно операции считают эквивалентным свойству выполнимости операции на множестве.