Метод разделения переменных

Определение. Уравнением с разделенными переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида

, (4)

с непрерывными функциями и

Смысл этого термина заключается в том, что переменные и разделены по разным частям равенства (4).

Напомним, что, согласно определению, дифференциал функции есть произведение производной на дифференциал независимой переменной: . Если умножить обе части равенства (4) на , получим:

. (5)

Это другой, более традиционный способ записи уравнения с разделенными переменными.

Теорема. Если в уравнении (5) функции и имеют первообразные и , то общий интеграл уравнения имеет вид:

, (6)

где — произвольная постоянная.

Замечание. Если для обозначения первообразных использовать символ неопределенного интеграла, то общий интеграл записывается в виде:

. (7)

Доказательство. Опуская доказательство того, что уравнение (6) действительно задает неявную функцию , убедимся, что удовлетворяет уравнению (4). Для этого продифференцируем по равенство (6), применяя для левой части правило производной сложной функции с промежуточной переменной :

,

или, учитывая, что и первообразные для и :

.

Остается убедиться, что за счет выбора значения произвольной постоянной можно обеспечить выполнение любых начальных условий . Подставляя начальные условия в (6), получаем:

. ▄

Примеры. 1. Для уравнения найдем общий интеграл и частный интеграл для начальных условий . Имеем:

—

это общий интеграл.

Подставим теперь в общий интеграл начальные условия и найдем соответствующее значение константы :

.

Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:

.

2. Рассмотрим уравнение с начальными условиями . Умножая обе части уравнения на и затем интегрируя, получаем:

– это общий интеграл. Выражая отсюда явно через и , получаем общее решение: . Подстановка начальных условий в общее решение дает: , так что . Следовательно, функция является решением задачи Коши.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида

, (8)

с непрерывными функциями .

В этом уравнении каждая из частей является произведением двух множителей, один из которых зависит только от , а другой – только от .

От этого уравнения легко перейти к уравнению с разделенными переменными, деля обе части на произведение («разделяя переменные»):

.

Примеры. 1. . Обе части разделим на и умножим на : . Интегрируем:

—

общий интеграл.

2. ; начальные условия: . Записываем производную как отношение дифференциалов:

.

Обе части умножим на , разделим на и проинтегрируем:

—

общий интеграл. Найдем теперь частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям. Подставляя начальные условия в полученное уравнение, имеем:

; .

Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:

.