Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод разделения переменных
Определение. Уравнением с разделенными переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида , (4) с непрерывными функциями и Смысл этого термина заключается в том, что переменные и разделены по разным частям равенства (4). Напомним, что, согласно определению, дифференциал функции есть произведение производной на дифференциал независимой переменной: . Если умножить обе части равенства (4) на , получим: . (5) Это другой, более традиционный способ записи уравнения с разделенными переменными. Теорема. Если в уравнении (5) функции и имеют первообразные и , то общий интеграл уравнения имеет вид: , (6) где — произвольная постоянная. Замечание. Если для обозначения первообразных использовать символ неопределенного интеграла, то общий интеграл записывается в виде: . (7) Доказательство. Опуская доказательство того, что уравнение (6) действительно задает неявную функцию , убедимся, что удовлетворяет уравнению (4). Для этого продифференцируем по равенство (6), применяя для левой части правило производной сложной функции с промежуточной переменной : , или, учитывая, что и первообразные для и : . Остается убедиться, что за счет выбора значения произвольной постоянной можно обеспечить выполнение любых начальных условий . Подставляя начальные условия в (6), получаем: . ▄ Примеры. 1. Для уравнения найдем общий интеграл и частный интеграл для начальных условий . Имеем: — это общий интеграл. Подставим теперь в общий интеграл начальные условия и найдем соответствующее значение константы : . Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид: . 2. Рассмотрим уравнение с начальными условиями . Умножая обе части уравнения на и затем интегрируя, получаем: – это общий интеграл. Выражая отсюда явно через и , получаем общее решение: . Подстановка начальных условий в общее решение дает: , так что . Следовательно, функция является решением задачи Коши.
Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида , (8) с непрерывными функциями . В этом уравнении каждая из частей является произведением двух множителей, один из которых зависит только от , а другой – только от . От этого уравнения легко перейти к уравнению с разделенными переменными, деля обе части на произведение («разделяя переменные»): . Примеры. 1. . Обе части разделим на и умножим на : . Интегрируем: — общий интеграл. 2. ; начальные условия: . Записываем производную как отношение дифференциалов: . Обе части умножим на , разделим на и проинтегрируем: — общий интеграл. Найдем теперь частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям. Подставляя начальные условия в полученное уравнение, имеем: ; . Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид: .
|