Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Уравнения, допускающие понижение порядка
7.1. Уравнение вида Решение уравнения означает отыскание функции по ее производной -го порядка. При каждом интегрировании производной ее порядок на единицу понижается: . Интегрируя последовательно раз, получаем (при каждом интегрировании добавляется очередная произвольная постоянная): ; ; … . Таким образом, найденная функция , в соответствии с определением общего решения, зависит от произвольных постоянных. Пример. Для уравнения третьего порядка найдем общее решение, а затем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Последовательные интегрирования дают: ; ; — общее решение. Подставляя начальные условия в полученные выражения для , получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными : Отсюда: , так что решение задачи Коши имеет вид: . 7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно искомую функцию . Введем новую неизвестную функцию . Тогда , и уравнение принимает вид: . Это уравнение первого порядка. Если найдено его общее решение , то возвращаясь к исходной неизвестной функции , получаем , так что находится интегрированием: . Аналогичным образом можно понизить на единицу порядок не содержащего явно уравнения . Пример. . Полагая , приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции : Ограничимся случаем , , что означает строгое возрастание искомой функции (так как ). Тогда , или . Наконец, интегрируя по частям, получаем общее решение:
.
7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную x Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно независимую переменную . Будем предполагать строго монотонной функцией. Тогда существует обратная функция , и производные можно рассматривать как сложные функции независимой переменной : . Введем новую неизвестную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции , так что исходное уравнение второго порядка переходит в уравнение первого порядка относительно новой неизвестной функции : . (13) Если найден общий интеграл уравнения (13) , то, заменяя в нем на , приходим к уравнению первого порядка относительно исходной неизвестной функции : . Таким образом, решение уравнения второго порядка сводится к последовательному решению двух уравнений первого порядка. Пример. Рассмотрим уравнение . Полагаем ; тогда . Исходное уравнение преобразуется к виду: . Ограничиваясь случаем , получаем уравнение с разделяющимися переменными: . Откуда . Произвольную константу интегрирования удобно записать в виде , поскольку логарифмическая функция принимает все значения от до . Тогда . . Поскольку здесь постоянный множитель при , записанный в виде , принимает, как и множитель , все вещественные значения, можно записать: Возвращаемся к исходной неизвестной функции : — общий интеграл.
|