Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Уравнения, допускающие понижение порядка
|
|
7.1. Уравнение вида 
Решение уравнения означает отыскание функции по ее производной 
-го порядка.
При каждом интегрировании производной ее порядок на
единицу понижается: 
.
Интегрируя последовательно раз, получаем (при каждом интегрировании добавляется очередная произвольная постоянная):
;
;
…
.
Таким образом, найденная функция 
, в соответствии с определением общего решения, зависит от произвольных постоянных.
Пример. Для уравнения третьего порядка 
найдем общее решение, а затем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Последовательные интегрирования дают:
;
;
— общее решение.
Подставляя начальные условия в полученные выражения для 
, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными 
:
Отсюда: 
, так что решение задачи Коши имеет вид: 
.
7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y
Рассмотрим уравнение второго порядка вида 
, не содержащее явно искомую функцию .
Введем новую неизвестную функцию 
. Тогда 
, и уравнение принимает вид: 
. Это уравнение первого порядка. Если найдено его общее решение 
, то возвращаясь к исходной неизвестной функции , получаем 
, так что находится интегрированием:
.
Аналогичным образом можно понизить на единицу порядок не содержащего явно уравнения 
.
Пример. 
. Полагая 
, приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции 
:
Ограничимся случаем 
, 
, что означает строгое возрастание искомой функции (так как 
). Тогда
,
или
.
Наконец, интегрируя по частям, получаем общее решение:
.
7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную x
Рассмотрим уравнение второго порядка вида 
, не содержащее явно независимую переменную 
.
Будем предполагать 
строго монотонной функцией. Тогда существует обратная функция 
, и производные 
можно рассматривать как сложные функции независимой переменной :
.
Введем новую неизвестную функцию 
. По правилу дифференцирования сложной функции
,
так что исходное уравнение второго порядка переходит в уравнение первого порядка относительно новой неизвестной функции 
:
. (13)
Если найден общий интеграл уравнения (13)
,
то, заменяя в нем 
на 
, приходим к уравнению первого порядка относительно исходной неизвестной функции :
.
Таким образом, решение уравнения второго порядка сводится к последовательному решению двух уравнений первого порядка.
Пример. Рассмотрим уравнение 
. Полагаем ; тогда 
. Исходное уравнение преобразуется к виду: 
. Ограничиваясь случаем 
, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Откуда
.
Произвольную константу интегрирования удобно записать в виде 
, поскольку логарифмическая функция принимает все значения от 
до 
. Тогда
.
.
Поскольку здесь постоянный множитель при , записанный в виде 
, принимает, как и множитель 
, все вещественные значения, можно записать: 
Возвращаемся к исходной неизвестной функции :
—
общий интеграл.