Метод вариации произвольных постоянных

(МЕТОД ЛАГРАНЖА)

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Согласно изложенному в п. 8.4, его общее решение представимо в виде . Общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде

. (22)

с произвольными постоянными . Функции , в зависимости от корней характеристического уравнения, имеют вид:

(а) — при , ;

(б) — при , ;

(в) — при ,

.

Таким образом, остается найти какое-либо частное решение исходного неоднородного уравнения . Метод вариации произвольных постоянных, предложенный Лагранжем, предполагает отыскание в виде, аналогичном (22), но уже с переменными множителями при и :

.

Здесь – подлежащие определению неизвестные функции.

Вычислим производные частного решения (аргумент для краткости опускаем):

.

Наложим на функции условие:

; (23)

тогда

.

Дифференцируем повторно:

.

Подставим выражения для в исходное уравнение и сгруппируем по отдельности слагаемые с и с :

.

Множители при и равны тождественно нулю, поскольку функции и являются решениями однородного уравнения, так что

. (24)

Соотношения (23) и (24) дают систему двух уравнений относительно неизвестных :

(25)

Решая эту систему, получим выражения для через уже известные функции , после чего сами функции находятся интегрированием.

В качестве итога сформулируем алгоритм решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

1. Решение соответствующего однородного уравнения, получение функций .

2. Запись общего решения соответствующего однородного уравнения в виде .

3. Вычисление производных .

4. Запись системы (25) для отыскания .

5. Решение системы, получение функций .

6. Нахождение каких-либо первообразных ин-

тегрированием функций .

7. Запись частного решения неоднородного уравнения в виде

.

8. Запись общего решения неоднородного уравнения:

.

Пример. Решим методом вариации произвольных постоянных уравнение . Следуя алгоритму, последовательно получаем:

1. ; ; ;

.

2. .

3. .

4.

5. .

6. Интегрируя по частям, имеем:

.

.

7. .

8. .