Линейное уравнение первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида: с непрерывными функциями и .

Будем искать общее решение методом И.Бернулли в виде произведения двух новых неизвестных функций: , что дает определенную свободу в выборе одного из множителей, позволяя придать ему необходимый для дальнейшего вид. Тогда . Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

.

Группируя слагаемые с , получаем: .

Потребуем от функции , чтобы множитель в квадратных скобках при тождественно обращался в нуль:

(10)

Уравнение (10) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение (без произвольной постоянной):

(10) .

Интегрируем обе части:

; ; ;

выбираем в качестве частного решения функцию (здесь символом неопределенного интеграла обозначена какая-либо первообразная функции ).

Теперь подстановка найденной функции в (10) дает уравнение с разделяющимися переменными относительно :

.

В итоге получаем общее решение:

;

. (11)

Хотя при решении линейного уравнения можно сразу выписывать общий интеграл по формуле (11), представляется полезным проследить на примере всю цепочку выкладок, приводящих к (11).

Пример. Рассмотрим линейное уравнение:

на интервале с начальными условиями .

Здесь . Полагаем:

.

Подставляем в уравнение выражения для и :

.

. (12)

Накладываем на условие: тогда

, и можно выбрать . Подставляем в (12) и учитываем, что, в соответствии с выбором функции , выражение в квадратных скобках тождественно равно нулю:

.

Функция

является общим решением.

Найдем частное решение задачи Коши. Подставим для этого начальные условия в общее решение и найдем соответствующее значение константы :

Подставив найденное значение в общее решение, получаем решение задачи Коши:

.