Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.

Определение. Для линейного уравнения второго порядка

соответствующим однородным уравнением называется уравнение

.

Можно доказать, что относительно структуры общего решения неоднородного линейного уравнения справедлива следующая

Теорема 4. Общее решение неоднородного уравнения представимо суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения : .

Доказательство. Поскольку

,

то действительно является решением неоднородного уравнения. Далее, зависит от произвольных постоянных и , поскольку от них зависит функция .

Остается убедиться, что за счет выбора значений этих постоянных можно получить решение задачи Коши с любыми наперед заданными начальными условиями . Поскольку — общее решение соответствующего однородного уравнения, то можно выбрать такие значения постоянных и , при которых

;

и

.

Тогда для функции при этих значениях и :

и

. ▄