Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной , применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 1.1. Решить уравнение

(1.1)

Решение. Введем новую переменную , тогда из (1.1) получаем уравнению Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение Отсюда вытекает и ,

Рассмотрим два уравнения

и .

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем и . Подстановкой в (1.1) убеждаемся в том, что найденные значения переменной является корнями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 1.2. Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что и является корнем уравнения (1.2).

Пусть теперь тогда части уравнения (1.2) разделим на и получим уравнение

(1.3)

Если обозначить , то уравнение (1.3) принимает вид квадратного уравнения , корнями которого являются и .

Рассмотрим уравнения и , откуда следует, что и . Так как , то найденные значения x являются корнями уравнения (1.2).

Ответ: и .

Пример 1.3. Решить уравнение

(1.4)

Решение. Перепишем уравнение (1.4) в виде

(1.5)

Положим, что и , тогда из (1.5) получим уравнение из которого следует и . Так как и , то и при этом .

Поскольку и , то Отсюда получаем систему уравнений

(1.6)

где Решением системы уравнений (1.6) относительно u является Так как при этом и , то и .

Ответ:

Пример 1.4. Решить уравнение

(1.7)

Решение. Для преобразования левой части уравнения (1.7) воспользуемся очевидным равенством Тогда из уравнения (1.7) имеем

и

Если затем положить то получим уравнение корни которого равны и

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения и , т.е и , где Первое уравнение корней не имеем, а из второго получаем .

Ответ: , .

Пример 1.5. решить уравнение

(1.8)

Решение. Первоначально убедимся, что не является корнем уравнения (1.8).так как то разделим обе части уравнения (1.8) на . Тогда получим

. (1.9)

Пусть , тогда

.

и из уравнения (1.9) следует или Последнее уравнение представим в виде . Отсюда следует, что и .

Далее, рассмотрим три уравнения , и .

Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения являются

Ответ:

Пример 1.6. Решить неравенство

(1.10)

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства (1.10) и обозначим через Тогда неравенство (1.10) можно переписать как

и

(1.11)

Решая неравенство (1.11) с учетом того , получаем . Поскольку то

Ответ:

Пример 1.7. Решить уравнение

(1.12)

Решение. Выполним замену переменных, пусть и Так как и то . Кроме того, имеем

В таком случае из уравнения (1.12) получаем систему уравнений

(1.13)

Пусть теперь и , тогда из системы уравнений (1.13) следует и . Отсюда с учетом того, что получаем и . Следовательно, имеет место и

Поскольку и то и где целое число.

Ответ: где целое число.