Задачи и решения. Пример 5.1.Решить уравнение

Пример 5.1. Решить уравнение

(5.3)

где квадратный корень берется n раз (

Решение. Из условия задачи следует, что Пусть тогда уравнение (5.3) принимает вид функционального уравнения (5.1).

Так как при функция возрастает и то уравнение (5.3) равносильно уравнению , т.е. положительным решением которого является

Ответ:

Пример 5.2. Решить уравнение

(5.4)

Решение. Перепишем исходное уравнение (5.4) в виде функционального уравнения типа (5.2), т.е.

(5.5)

где

Поскольку для любого значения x, то функция y=f(x) является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения (5.5) можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.

Ответ:

Пример 5.3. Решить уравнение

(5.6)

Решение. Преобразуем уравнение (5.6) следующим образом:

Отсюда получаем уравнение

(5.7)

Пусть тогда уравнение (5.7) принимает вид

(5.8)

Так как функция является убывающей на всей числовой оси Ox, то (согласно Следствию 3) уравнение (5.8) равносильно уравнению т.е. уравнение (5.7) равносильно уравнению Отсюда следует уравнение которое имеет единственный действительный корень .

Ответ: .

Пример 5.3. Решить уравнение

(5.9)

Решение. Поскольку при всех x, то областью допустимых значений уравнения (5.9) является множество всех действительных чисел.

Положив увидим, что заданное уравнение (5.9) принимает вид где Так как их следует, что

то функция является возрастающей на области значений функций В этой связи уравнение (5.9) равносильно уравнению и, следовательно, имеет два корня

Ответ: