Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Методы, основанные на применении векторов
|
|
Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.
Вектора 
в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами 
и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле 
. Суммой (разностью) двух векторов 
и 
называется вектор 
, координаты которого вычисляются как 
, 
, 
(соответственно, 
, 
, 
).
Два различных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.
Для векторов и 
справедливо неравенство 
, т.е.
. (6.1)
Формула (6.1) обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл (6.1) состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула (6.1) иначе называется неравенством треугольника.
Следует особо отметить, что равенство в (6.1) достигает тогда и только тогда, когда векторы и 
коллинеарные. В частности, из равенства в (6.1) следует, что 
.
Причем равенство 
имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, т.е. 
.
В свою очередь, равенство 
свидетельствует о том, что векторы , противоположно направлены 
.
Скалярным произведением · векторов и называется число(скаляр), которое вычисляется по формуле
· = 
, (6.2)
где 
– угол, образованный векторами и .
Для вычисления скалярного произведения двух векторов и , заданных в координатной форме, существует еще одна формула
· = 
(6.3)
Из формул (6.2) и (6.3) легко получить формулу для вычисления косинуса угла.. между векторами и , т.е.
(6.4)
Из формулы (6.2) следует, что векторы , 
являются коллинеарными тогда и только тогда, когда · = 
.
Отметим. Что формулы (6.1) 
(6.4) обобщаются на случай векторов и , заданных в n-мерном пространстве (где n 
).
Задачи и решения
Пример 6.1. Доказать, если 
, то
(6.5)
где 
Доказательство. Пусть 
, тогда 
Введем в рассмотрение вектор 
Так как 
то вектор имеет координаты 
и 
Поскольку 
то неравенство треугольника принимает вид
(6.6)
Если в неравенство (6.6) подставить выражения для 
…, 
, то получим требуемое неравенство (6.5).
Пример 6.2. Решить неравенство
(6.7)
Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты 
, а вектор - координаты 
Тогда имеем 
. Пусть 
тогда координаты вектора 
будут вычисляться по формулам 
. Отсюда следует, что 
Поскольку то имеет место неравенство треугольника 
Если в последнее неравенство подставить выражения для 
то получим неравенство 
Отсюда и из (6.7) следует равенство
(6.8)
Равенство (6.8) означает, что 
Отсюда следует, что векторы 
коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение 
, откуда вытекает 
Ответ:
Пример 6.3. Решить уравнение
(6.9)
Решение. Введем в рассмотрение два вектора 
и 
Тогда 
Принимая во внимание уравнение (6.9), получаем равенство 
, наличие которого свидетельствует о том, что векторы 
являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение
(6.10)
Из уравнения (6.10) следует, что 
Если возвести в квадрат обе части уравнения (6.10), то получим уравнении 
которое имеет следующих три корня: 
Поскольку 
то решением уравнения (6.9) являются 
Ответ: 
.
Пример 6.4. Найти минимальное значение функции
Решение. Представим функцию 
в виде
(6.11)
Введем на плоскости векторы с координатами 
соответственно. Так как 
, то из выражения (6.11) следует, что 
Пусть 
тогда координатами вектора 
являются (-5; 3) и 
Так как то 
и 
Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции 
принимает значение 
Если 
, то 
т.е. векторы 
коллинеарные. Отсюда следует, что 
Положим 
тогда 
Если найденные значения 
и 
подставить в (6.11), то 
Следовательно, минимальное значение функции равно
Ответ: 