Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда.

Бесконечная сумма а₀ + а₁ х + а₂ х² + … а_n хⁿ + … = , где называется степенным рядом относительно переменной х.

- коэффициент ряда.

Совокупность значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Теорема Абеля:

Для любого степенного ряда существует , такое, что для любого х, если , то ряд сходится абсолютно, для х, если , ряд расходится. При ряд может как сходиться, так и расходиться.

радиус сходимости ряда:

Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х и имеет в ней производные до порядка включительно. Тогда для всякого х из этой окрестности справедливо равенство:

Ряд называется рядом Тейлора.

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при :