Правило замены переменной интегрирования.

Пусть требуется вычислить

Переменную интегрирования х можно заменить на другую переменную t, выполнив подстановку или При этом в исходном интеграле нужно всё подынтегральное выражение пересчитать через переменную t и её дифференциал, учитывая определение дифференциала функции: или В результате подстановки получим, что

После вычисления интеграла по переменной t нужно вернуться к переменной х, выполнив обратную замену. Выполненная подстановка считается эффективной, если получившийся интеграл по новой переменной интегрирования окажется проще исходного.

Наиболее простые случаи замены могут оформляться как подведение под знак дифференциала в соответствии со следующими формальными описаниями:

Если то

1)

2)

3)

4)

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

=

Другая форма записи.

Подведём под знак дифференциала выражение (), учитывая, что

Ответ:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

Сделаем замену переменной:

Иначе:

Ответ:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

=

Иначе:

Ответ:

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение.

Пусть t = Тогда dt =

Иначе:

Ответ:

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Ответ: