Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле: , где u = j(x), v =y(x) - непрерывно дифференцируемые функции от x. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Применение формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо подобен ему.

При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой легко вычисляется.

Рассмотрим три основных случая.

1) Для интегралов вида , , , где P (x) – многочлен, за u следует принять P(x), а за dv соответственно выражения , , .

2) Для интегралов вида , ,

, , за u принимаются соответственно функции , , , , , а за dv – выражение P(x)dx.

3) а) Для интегралов вида или за u принимают любую из функций , либо sin bx (cos bx) и интегрируют по частям 2 раза. Причем при повторном интегрировании за u принимают ту же функцию, что и первоначально. В результате в правой части получаем выражение, содержащее исходный интеграл. Решая уравнение относительно неизвестного интеграла, приходим к окончательному результату.

3) б) Для интегралов вида , за u принимают

sin ln x (cos ln x), а за dv – dx. Здесь, как и в предыдущем случае, применяют формулу интегрирования по частям 2 раза.

Пример 6. Вычислить интеграл:

Решение.

Здесь P (x) = - многочлен второй степени. Значит,

Применяем формулу интегрирования по частям.

Интеграл в правой части проще исходного интеграла. Еще раз интегрируем по частям. Здесь - многочлен первой степени. Значит,

.

=

Ответ:

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Еще раз интегрируем по частям.

.

Ответ:

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение.

В данном случае применяем формулу интегрирования по частям два раза, каждый раз принимая за u одну и ту же функцию.

.

.

Так как интеграл свёлся к самому себе, то записываем начало и конец выкладок и решаем уравнение относительно исходного интеграла:

, где С = .

Ответ:

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение.

Как и в предыдущем примере, применяем формулу интегрирования по частям дважды.

Так как интеграл свёлся к самому себе, то записываем начало и конец выкладок и решаем уравнение относительно исходного интеграла:

.

Постоянная С добавлена потому, что любое равенство, содержащее неопределённые интегралы, справедливо в том смысле, что его левая и правая части могут отличаться на постоянное слагаемое.

Ответ: