Интегрирование простейших дробей.

Определение 1. Рациональной дробью называется дробь вида , где и – целые многочлены степеней n и m.

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена ; в противном случае дробь называется неправильной.

Определение 3. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II. , где m > 1, m Î Z (целое число);

III. , где D = < 0 (квадратный трехчлен

не имеет действительных корней);

IV. , где n Î Z (целое число), квадратный трехчлен

не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a, Î R (действительные числа). Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.

I. ;

II.

.

III. , < 0.

Выделим в числителе дроби производную знаменателя:

Ax + B = (2 x + p) .

перейдём к сумме двух интегралов

в первом интеграле выполняем подведение под знак дифференциала

первый интеграл вычисляем как табличный интеграл 3, во втором

интеграле выделяем полный квадрат в знаменателе дроби

второй интеграл готовим к вычислению как табличный интеграл 9

.

Интегралы от простейших дробей вида IV вычисляются сложнее, поэтому рекомендуется находить их с помощью справочника. Пример вычисления показан в Приложении.

Пример 1. Вычислить интеграл: .

Решение.

Интеграл сводится к табличному интегралу 9, если представить знаменатель дроби в виде суммы квадратов и выполнить подведение под знак дифференциала постоянного множителя:

=

Ответ:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение.

Выделением в знаменателе полного квадрата и подведением под знак дифференциала постоянного слагаемого сводим интеграл к табличному интегралу 10:

.

Ответ:

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ответ:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение.

Вычисляем интеграл по алгоритму интегрирования простейшей дроби вида III (выделяем в числителе производную знаменателя и разбиваем интеграл на два интеграла):

.

.

Ответ:

Пример 5. Вычислить .

Решение.

Данный интеграл сведётся к интегралу от простейшей дроби вида III, если в нём сделать замену переменной интегрирования:

Ответ: