На простейшие дроби.

Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие преобразования и вычисления:

1.Если данная рациональная дробь является неправильной, то нужно выделить из неё целую часть, т. е. представить её в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на линейные множители и квадратичные множители, не имеющие действительных корней:

, причём .

3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей вида I, II, III, IV:

;

здесь - это неопределенные коэффициенты, которые находятся из условия тождественного равенства по х между правильной рациональной дробью и суммой простейших дробей.

4. Вычислить неопределенные коэффициенты, для этого

· привести простейшие дроби к общему знаменателю;

· приравняв числители равных дробей, имеющих равные знаменатели, получить тождественное равенство двух целых многочленов;

· приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в тождественно равных многочленах, получить и решить систему уравнений для неопределённых коэффициентов.

Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х можно использовать метод частных значений х, суть которого состоит в том, что тождественно равные многочлены принимают одинаковые значения при любых конкретных значениях х, поэтому достаточно подставить в равенство числителей несколько удобных значений х и получить в результате уравнения для неопределённых коэффициентов. На практике можно комбинировать метод частных значений х с приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х.

После этих преобразований и вычислений остаётся проинтегрировать сумму целого многочлена и простейших рациональных дробей. Таким образом, от любой рациональной дроби всегда можно вычислить неопределённый интеграл.

При практическом осуществлении описанного алгоритма возможны четыре случая для разложения знаменателя правильной рациональной дроби на линейные и квадратичные множители.

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение.

Разложим знаменатель дроби на множители:

В разложении правильной дроби на сумму простейших дробей записываем только простейшие дроби I типа:

.

Приводим к общему знаменателю сумму простейших дробей:

.

Приравниваем числители дробей, имеющих одинаковые знаменатели:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем и решаем систему уравнений относительно коэффициентов А, В, С:

Если использовать для определения коэффициентов А, В, С метод частных значений х, нужно в тождественное равенство числителей

подставить удобные в данном случае

значения х: х =0, х =1 и х =4.

В результате получим равенства для неопределённых коэффициентов:

при х =0:

при х =1:

при х =4:

Итак, получили разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей:

,

причём это разложение можно всегда подтвердить проверкой.

Проверка:

верно.

Вычисляем данный интеграл как сумму интегралов от простейших дробей:

.

Ответ:

Случай 2. Знаменатель имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение.

Разложим знаменатель на множители:

.

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей I и II типов:

Приводим простейшие дроби к общему знаменателю:

Приравниваем числители равных дробей, имеющих одинаковые знаменатели:

Используем удобные в данном случае частные значения х: х =1 и х =-1.

При х =1 получим

при х = -1 получим

Числа А и С найдём приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х; для этого в правой части равенства числителей раскроем скобки и приведём подобные слагаемые по степеням х:

Далее достаточно приравнять коэффициенты только при и и учесть значения уже найденных коэффициентов В и D:

, .

Записываем разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей и подтверждаем его проверкой (проверку сделать самостоятельно):

Теперь вычисляем данный интеграл как сумму интегралов от простейших дробей:

Ответ:

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

Пример 8. Найти интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, поэтому сначала выделяем целую часть из этой неправильной дроби:

Записываем неправильную дробь как сумму целого многочлена и правильной рациональной дроби:

Сводим исходный интеграл к сумме интегралов от целого многочлена и правильной дроби:

= .

Правильную дробь разложим на простейшие дроби I, II и III типов следующим образом:

Приравниваем числители равных дробей с равными знаменателями:

Чтобы подготовить приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х, в правой части раскроем скобки и приведём подобные по одинаковым степеням х:

.

В результате приравнивания коэффициентов при , при , при , при получим систему уравнений относительно неизвестных А, В, С, D:

Полученные коэффициенты всегда нужно подтверждать проверкой.

Завершаем вычисление исходного интеграла:

.

Ответ:

Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители. Этот случай встречается довольно редко и требует громоздких выкладок, поэтому здесь представлен только примерами в Приложении, §7.