Математическая модель узкополосного сигнала

Пусть – низкочастотный (НЧ) сигнал со спектром, сосредоточенным вблизи .

Тогда свойствами узкополосного сигнала обладает колебание вида

(2.18)

а спектр его окажется вблизи точек . Такими же свойствами будут обладать и колебания

(2.19)

Здесь – также НЧ сигнал.

Различие двух сигналов – в фазе «быстрого» сомножителя .

Рассмотрим линейную комбинацию сигналов типа (2.18) и (2.19)

(2.20)

Функции и – являются низкочастотными в том смысле, что их относительное изменение за период мало.

Принято называть – синфазной амплитудой узкополосного сигнала , а – квадратурной амплитудой.

Мгновенные значения , можно определить экспериментально, используя схему, изображенную на рис. 2.34.

Рис. 2.34 Схема определения мгновенных значений

Для синфазной составляющей на выходе перемножающего устройства будет наблюдаться сигнал

а на выходе фильтра низких частот – сигнал пропорциональный .

Аналогично протекает процесс при определении квадратурной составляющей . Математическая модель узкополосного сигнала (2.88) в комплексном представлении имеет вид

(2.21)

где

(2.22)

– комплексная огибающая узкополосного сигнала. Очевидно, что

	(2.23)
	(2.24)

Здесь – вещественная функция времени, , называемая физической огибающей;

– начальная фаза узкополосного сигнала, медленно меняющаяся во времени.

Из (2.23) и (2.24) следует ещё одна форма записи узкополосного сигнала

(2.25)

Полная фаза узкополосного колебания

(2.26)

а мгновенная частота равна

(2.27)

В соответствии с (2.25) узкополосный сигнал – это сложное колебание, получающееся при одновременной модуляции несущего гармонического сигнала, как и по амплитуде, так и по фазовому углу.

Физическая огибающая узкополосного сигнала связана с синфазной и квадратурной составляющей соотношением

(2.28)

Свойства .

1⁰. Неоднозначность. Если взять частоту , то

и получим новое значение комплексной огибающей

(2.29)

при этом физическая огибающая остаётся неизменной.

2⁰. Из (2.25) и рис. 2.35 следует соотношение .

Рис. 2.35 Огибающая сигнала

Мгновенная частота изменяется во времени по закону

(2.30)