Корреляционный анализ сигналов

Для решения многих технических задач требуется синтезировать сигналы с определенной структурой и с заранее заданными свойствами. Таковыми могут быть сигналы и , одинаковые по форме и сдвинутые между собой во времени. Полезная информация содержится в задержке , а количественной мерой различия двух сигналов является скалярное произведение, называемое автокорреляционной функцией

(2.51)

Здесь предполагается, что интеграл существует.

Функция автокорреляции обладает следующими свойствами

1⁰. При функция автокорреляции превращается в энергию сигнала

(2.52)

2⁰. Функции является четной, т.е.

(2.53)

3⁰. Из неравенства Коши – Буняковского

следует, что при любом значении

(2.54)

Свойства (2.52) – (2.54) позволяют представлять функцию автокорреляции симметричной кривой с положительным центральным максимумом, убывающей монотонно или колебательным образом в зависимости от вида сигнала .

Пример 1. Найти функцию прямоугольного видеоимпульса с длительностью и амплитудой .

По формуле (2.51) получаем

(2.55)

Графиком функции является треугольник с основанием, равным удвоенной длительности видеоимпульса (рис.2.40).

Рис. 2.40 Автокорреляционная функция двух сигналов

Пример 2. Найти функцию прямоугольного радиоимпульса с длительностью и амплитудой (рис 2.41).

Рис. 2.41 Автокорреляционная функция двух радиоимпульсов

Пользуясь (2.51), вычисляем функцию автокорреляции (рис. 2.41)

При получаем

– энергия радиоимпульса.

Автокорреляционная функция связана с энергетическим спектром сигнала, если раскрыть скалярное произведение сдвинутых сигналов с привлечением обобщенной формулы Рэлея

(2.56)

Здесь обозначены , . C учетом того, что , , функция автокорреляции имеет вид

(2.57)

и представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра . Следовательно, существует и прямое преобразование Фурье

(2.58)

Из полученных результатов следуют выводы:

1⁰. Корреляционные свойства сигналов определяются распределением энергии по спектру.

2⁰. При исследовании свойств сигналов в реальном времени на ЭВМ удобнее вначале определить автокорреляционную функцию, а затем с помощью преобразования Фурье найти энергетический спектр.

3⁰. Чем шире полоса частот, тем короче основной лепесток функции автокорреляции, тем более точные измерения временных интервалов можно провести при исследовании сигналов. Для этих целей вводится численная характеристика ширины основного лепестка – интервал корреляции .

Пример. Определить функцию сигнала с равномерным и ограниченным по частоте энергетическим спектром

По формуле (2.116) находим (рис.2.42)

Рис. 2.42 Автокорреляционная функция идеального низкочастотного сигнала

Интервал корреляции определяется первым нулем функции

Существуют ограничения на автокорреляционную функцию сигнала. Согласно (2.58) , т.е. преобразование Фурье функции не может быть отрицательным или знакопеременным.