Спектральные представления стационарных случайных процессов

Будем рассматривать случайный процесс (стационарный) , с математическим ожиданием

Отдельно взятая реализация этого процесса допускает спектральное представление и является детерминированной функцией, т.е.

(2.72)

где – детерминированная спектральная плотность

Для описания ансамбля реализаций, образующих , следует считать спектральные функции случайными функциями частоты (т.е. случайность во временной области влечет за собой случайность в частотной области).

Для того чтобы процесс был стационарным, спектральные функции должны обладать определенными свойствами.

1⁰. Усредним мгновенное значение (2.72) по ансамблю, тогда

(2.73)

при любом , если .

2⁰. Определим условия, при которых функция корреляции будет зависеть от , а случайный процесс – стационарным.

Допуская, что – вещественный сигнал, для которого справедливо

,

(2.74)

запишем выражение для функции корреляции процесса

или

(2.75)

Для того, чтобы не зависела от необходимо, чтобы

(2.76)

т.е. спектры, отвечающие двум несовпадающим частотам , некоррелированны между собой (дисперсия неограниченно велика). Такой вид корреляционной связи называется ‑ коррелированностью.