Баланс гумуса в почве под посевами различных сельскохозяйственных культур

Культуры

Урожай­ность, ц с 1 га

Вынос азота с учетом раститель­ных остат­ков, кг на 1 ц

Мине­рализа­ция гумуса, '

с 1 га

Накопление гумуса за счет

разложения растительных

остатков, т на 1 га

Фиксиро­ванный азот бобо­вых, т на 1 га, Ф„

Баланс

гумуса под

культурой

(±), т на 1 га

Продолжение

ний. Изогумусовый коэффициент (коэффициент перевода орга­нических удобрений в гумусовый эквивалент) составляет 0, 22, то есть при внесении в почву 10 000 т органики будет накоплено 2200 т гумуса.

Приняв минерализацию (вынос) гумуса под культурами по

минимальной границе урожайности, составим ограничение по балансу гумуса. Коэффициент по озимым зерновым возьмем по озимой пшенице (—0, 43 т на 1 га), по яровым зерновым исполь­зуем ячмень (—0, 40 т на 1 га), все многолетние травы, а также се­нокосы и пастбища возьмем по многолетним травам на сено (+0, 50 т на 1 га), сад —по многолетним травам, так как предпо­лагается, что его междурядья будут залужены, пашню в целом — по яровым зерновым.

Учитывая, что накопление гумуса (2200 т) будет стоять в пра­вой части неравенства со знаком «+», нетрудно понять, что техни­ко-экономические коэффициенты по культурам, накапливающим гумус, в левой части неравенства будут иметь отрицательный знак. И наоборот, культуры, активно снижающие плодородие почв, бу­дут иметь положительный знак технико-экономического коэф­фициента. Условие запишем так:

0, 43*! + 0, 40х₂ + 0, 57х₃ - 0, 50х₄ - 0, 50х₅ -

- 0, 50x6 + 0, 23х₇ + 1, 07х₈ - 0, 50х₉ - 0, 50х₁₀ - 0, 50х„ -

- 0, 50х₁₂ + 0, 40х₁₃ - 0, 50х_н ^ 2200.

В общем виде данное ограничение примет следующий вид:

3 где Зу — вынос (накопление) гумуса под посевами культур, т с 1 га (знак «+» техни­ко-экономического коэффициента в левой части неравенства свидетельствует о расходовании гумуса, знак «—» о его накоплении); В —общее количество органи­ческих удобрений, имеющихся в хозяйстве, в переводе в гумусовый эквивалент, т.

Однако приводимое выше ограничение — это частный случай общей постановки условия по балансу органических веществ в почве. В данное условие могут быть добавлены и отрасли живот­новодства.

Продолжим введение обозначений:

Х|₅ — поголовье коров в хозяйстве;

*1б — поголовье молодняка крупного рогатого скота;

х/)е 0₄) — переменные, характеризующие отрасли животно­водства.

Выход навоза на одну корову в год составляет 9 т, на одного теленка— 1, 2т. Приняв изогумусовый коэффициент для свежего навоза равным 0, 1, получим, что от одной коровы имеем 0, 9 т органических удобрений в переводе на гумус, от одного телен­ка — 0, 12 т.

Если обозначить через х₁₇ объем приобретаемых органических удобрений, необходимый для бездефицитного баланса гумуса, то вышеназванное ограничение будет иметь следующий оконча­тельный вид:

0, 43х, + 0, 40х₂ + 0, 57х₃ - 0, 50х₄ - 0, 50х₅ -

- 0, 50х₆ + 0, 23х₇ + 1, 07х₈ - 0, 50х₉ - 0, 50х₁₀ - 0, 50х_и -

- 0, 50х₁₂ + 0, 40х₁₃ - 0, 50х_и - 0, 9х₁₅ - 0, 12х₁₆ - х₁₇ < 2200.

Подобно вышеприведенному ограничению по гумусу может быть сформулировано условие по органическим удобрениям. Оно должно записываться, исходя из следующего соотношения: объемы внесения органических удобрений = наличие органичес­ких удобрений.

Оставляем в правой части уравнения константу, равную изве­стной величине имеющейся в хозяйстве органики, например пе­реходящего запаса навоза с прошлого года, в левой части со зна­ком «+» будут нормы внесения органических удобрений под культуры и угодья и со знаком «—» — нормы выхода навоза с 1 гол. скота.

В ряде землеустроительных задач ставят также ограничения по предотвращению эрозионно опасного стока или смыва почвы. Данные ограничения будут рассмотрены при построении модели

оптимизации состава и структуры комплекса противоэрозион-ных мероприятий в последующих главах.

2. Ресурсные ограничения. К числу основных ресурсов, кроме земельных, относятся трудовые, технические (машины и меха­низмы), единовременные денежные затраты (капиталовложе­ния), ежегодные финансовые издержки производства, минераль­ные удобрения, средства защиты растений, оросительная вода, семена и т. д.

Рассмотрим постановку данных ограничений на примере тру­довых ресурсов.

Допустим, собственные трудовые ресурсы сельскохозяйствен­ного предприятия обеспечивают выработку 300 000 чел.-ч. Тогда их использование выразится следующим неравенством (обозна­чения переменных приведены выше):

65х! + 43, 9х₂ + 328х₃ + - + 393х₁₅ + 193х_1б + 0, 50х₁₇ < 300 000.

Технико-экономические коэффициенты при переменных в данном неравенстве означают затраты труда в чел.-ч в расчете на единицу вводимой переменной (1 га, 1 гол. скота), а константа 300 000 — имеющийся объем трудовых ресурсов.

В случае, если допускается увеличение состава трудовых ре­сурсов за счет привлечения со стороны сезонных и временных рабочих, число которых, пересчитанное в чел.-ч, определяется в процессе решения задачи через х₁₈, ограничение примет следую­щий вид:

65х, + 43, 9х₂ + 328х₃ +... + 393х₁₅ + 193х, ₆ + 0, 50х₁₇ < 300 000 + х₁₈, или

65*! + 43, 9х₂ + 328х₃ +... + 393х₁₅ + 193х₁₆ + 0, 50х₁₇ - х₁₈ < 300 000,

где х_[Й — вспомогательная переменная, характеризующая объем привлекаемых до­полнительно трудовых ресурсов, чел.-ч.

Наконец, возможен случай, когда объем производственного ресурса не задается заранее, а определяется в ходе решения зада­чи. Тогда х_{! 8} — общий объем необходимых ресурсов труда, а ог­раничение по труду примет вид

65х[ + 43, 9х₂ + 328х₃ +... + 393х₁₅ + 193х₁₆ + 0, 50х₁₇ = х₁₈,

или

65х, + 43, 9х₂ + 328х₃ +... + 393х₁₅ + 193х_1б + 0, 50х_]7 - х₁₈ = 0.

Вспомогательная переменная х₁₈ отражает общие суммарные

затраты труда, этот тип переменных получил название «отражен­ные», «накопительные».

Обобщенная математическая запись условий по использова­нию производственных ресурсов имеет вид

2> //Х/< &; +Х; 0'6 М₂)\

Ха, ух, -х/< 6/ (''е М₂);

где X, - — вспомогательная переменная, обозначающая искомый (неизвестный) раз­мер; -го ресурса.

Если объем производственного ресурса необходимо опреде­лить в результате решения задачи, то математическая запись бу­дет иметь вид

Х^-ху-х^О (/е М₂),

где х, — общий искомый объем /-го ресурса; о, у— норма затрат ресурса /-го вида на единицу У-й переменной.

Ряд ресурсных ограничений имеет свои особенности. Напри­мер, в силу того что сельскохозяйственное производство отлича­ется сезонным характером, в землеустроительных задачах ставит­ся несколько ограничений по трудовым ресурсам: в целом за год (или за весь полевой период), а также по напряженным периодам работ (посев, уборка, основная обработка почвы и т. д.). Вели­чины технико-экономических коэффициентов по затратам тру­да (нормы затрат труда) определяются по данным технологичес­ких карт на возделывание сельскохозяйственных культур или другим источникам и измеряются в человеко-часах или челове­ко-днях.

Ограничения по техническим ресурсам ставят, как правило, по видам техники: тракторам, комбайнам и т. д. В случае, если техника универсальная и может быть использована на различ­ных видах полевых работ, в качестве технико-экономических коэффициентов используют величины, выражаемые в услов­ных единицах (усл. эт. га). Через эти же величины пересчиты­вают и объемы ресурсов (константы). Например, при наличии в хозяйстве 10 тракторов с годовой загрузкой 150эт. га и 5 тракторов с загрузкой 100 эт. га общий объем ресурса механи­зированного труда с использованием тракторов составит 2000 га.

Если техника используется только при одном виде полевых работ, то в качестве единиц измерения могут быть применены натуральные гектары.

При постановке ограничений по минеральным удобрениям их подразделяют на виды (азотные, фосфорные, калийные, микро­удобрения и т.д.). Для того чтобы привести к единому показате­лю эффективность удобрений, их соизмеряют в кг д. в. или в ц усл. туков.

В районах орошения ограничения по объемам оросительной воды измеряют в тыс. м³.

Ограничения, учитывающие финансовую сторону проекта (по единовременным и ежегодным затратам, основным и оборотным фондам), принимают, как правило, в рублях. Технико-экономи­ческие коэффициенты выбирают из разного рода калькуляций.

3. Ограничения по производству и использованию кормов форму­лируют, исходя из следующего соотношения: потребление кор­мов < производство кормов.

При переносе неизвестных членов из правой части неравен­ства в левую их знак меняют на обратный. Константы, например переходящие с прошлого года запасы кормов, остаются в правой части с положительным знаком. Тогда в общем виде ограничения по производству и использованию кормов можно записать так:

УейибгиЙ./604

где \> у — выход кормов /-го вида (урожайность основной или побочной продукции, продуктивность угодий) с единицы площади вводимой переменной, ц с 1 га; > %• — норма кормления 1 гол. скота (птицы), ц; А_> — известный запас кормов, ц; х#е б] *-" й ^> бз) — отрасли растениеводства; х_] (/е < 2₄) — отрасли животновод­ства; х₁ — дополнительно приобретаемые корма.

Ограничения по кормам составляют целый блок /е М₃. Обыч­но их формулируют по всем видам кормов (концентраты, сено, силос, корнеплоды, сенаж, травяная мука, зеленые корма) в цен­тнерах. Дополнительно ставят ограничения по обеспечению пол­ноты и питательности кормов, выражая их в кормовых единицах, переваримом протеине и каротине.

Ограничения по зеленым кормам разбивают по месяцам или декадам пастбищного периода.

В случае, если в процессе решения задачи отрасли животно­водства являются заданными величинами, ограничения упроща­ются и имеют следующий вид:

! > //*/> ^у, /е М₃, /

где V/ — объем гарантированного производства кормов 1-го вида.

В случае, если при моделировании стоит задача оптимизиро­вать рационы животных и сбалансировать их по питательности, данное ограничение будет выглядеть так:

где V/ и У₁ — соответственно нижняя и верхняя границы рационов животных.

Например, в модели оптимизации рациона основными явля­ются ограничения по обеспечению животных различными пита­тельными веществами в минимально необходимом количестве (кормовые единицы, переваримый протеин, каротин и др.). Ог­раничение по балансу кормовых единиц имеет следующий вид:

0, 95*! + 0, 45*2 + 0, 22х₃ + 0, 11х₄ > 20,

где Х[, х₂, х₃ и х₄ — переменные, обозначающие искомое количество концентратов, сена, силоса и корнеплодов в рационе коровы; технико-экономические коэффици­енты показывают содержание кормовых единиц в 1 кг соответствующих кормов, а константа 20 — минимально допустимую суточную норму в кормовых единицах для обеспечения требуемой продуктивности.

При использовании строгих равенств система ограничений модели может быть несовместной. Так, если условия по кормо­вым единицам, каротину, переваримому протеину задать равен­ствами, то обеспечение переваримым протеином, например, мо­жет быть гарантировано при невысоком содержании его в кор­мах данного хозяйства лишь в случае превышения (избытка) кор­мовых единиц.

В то же время при записи условия по сухому веществу исполь­зуется тип ограничения <.

4. Условия гарантированного производства отдельных видов про­дукции связывают переменные задачи (отрасли) с объемами про­изводства. Объемы работ или производства продукции могут оп­ределяться:

1) заданной величиной (тип ограничения =);

2) минимально допустимой границей (тип ограничения >);

3) максимальной границей (тип ограничения <);

4) интервалом между минимальной и максимальной границами. В моделях с минимизирующими критериями наиболее важны

первые два типа ограничений. Они имеют следующий вид:

^у^х]=^У1 ^или ЪЧуХ^Ц, /6 М₄,

где V^ — объем гарантированного производства продукции 1-го вида.

Например, если поголовье коров обозначено величиной х_]5, а удой на 1 гол. составляет 50 ц, то при плане реализации молока

25 000 ц ограничение по гарантированному производству будет иметь вид

50x15 > 25 000. ■ '

В то же время поголовье коров может быть ограничено чис­лом имеющихся в хозяйстве ското-мест, например

х_[5< 400.

Эти два условия противоречат друг другу, поскольку для вы­полнения плана закупок необходимо иметь не менее 500 коров (25 000: 50 = 500), а постройки позволяют содержать лишь 400. Нельзя допускать несовместимости условий, иначе задача не бу­дет иметь решения.

5. Ограничения, устанавливающие пропорции между отраслями или различие взаимосвязи переменных, вводятся для того, чтобы ог­раничить размеры отраслей (*_, ■ < 6/), зафиксировать их на требуе­мом уровне (х_у-= />,), предусмотреть развитие (Ху> &,) или устано­вить в определенном интервале параметры (й_; .< ху< ^).

Различные взаимосвязи переменных могут устанавливаться прежде всего по организационно-хозяйственным, технологичес­ким и другим причинам.

Например, поставлено условие обеспечить себя семенами многолетних трав собственного производства. Примем урожай­ность многолетних трав на семена равной 3 ц с 1 га, а норму вы­сева семян — 0, 2 ц на 1 га, то есть 1 га многолетних трав, исполь­зуемых на семена, обеспечит дополнительно 15 га посева этой культуры.

Используем ранее приведенные обозначения:

х₄ — многолетние травы на сено;

х₅ — многолетние травы на зеленый корм;

х_б — многолетние травы на семена.

Ограничение по балансу семян многолетних трав примет вид

0, 2(х₄ + х₅) = Зх₆, или в окончательном виде

0, 2х₄ + 0, 2х₅ — Зхб = 0.

Рассмотрим еще один пример.

Допустим, при разработке экономико-математической модели стоит задача выдержать следующий севооборот с озимыми зер­новыми на товарные цели:

1) многолетние травы на корм;

2) многолетние травы на корм;

3) многолетние травы на корм и семена;

4) озимые зерновые.

В этом севообороте озимые надо разместить по многолетним травам 3-го года пользования. Тогда ограничения по предше­ственнику озимых (х,) примут следующий вид:

Ху = 0, 333(х₄ + х₅ + Хб), или х, - 0, 333х₄ - 0, 333х₅ - 0, 333х₆ = 0.

Данное ограничение можно описать в следующем виде при менее жесткой постановке задачи:

X) < 0, 333(х₄ + Х5 + Хб).

В процессе экономико-математического моделирования могут возникать аналогичные и другие ограничения, которые будут рассмотрены нами при математической формулировке конкрет­ных землеустроительных задач.

Контрольные вопросы и задания

1. Как установить перечень основных переменных задачи?

2. Какие виды основных переменных существуют в землеустроительных зада­чах?

3. Какие виды ограничений существуют?

4. Назовите основные приемы построения ограничений.

5. Как построить ограничения с постоянными коэффициентами при перемен­ных и известными и изменяющимися объемами ограничений; с изменяющимися коэффициентами при переменных?

6. В чем заключаются методы средневзвешенного, суммирования и вычитания коэффициентов, приемы поэтапного решения задачи и ее сжатия?

7. Назовите основные типы ограничений в землеустроительных задачах, их особенности.

Глава 21

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

21.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

Выбор критерия оптимальности — один из наиболее важных и ответственных этапов моделирования. Даже при самой тщатель­ной постановке и математической формулировке землеустрои­тельной проектной задачи, обосновании системы переменных и условий, адекватно отражающих действительность, неудачно выбранный критерий оптимальности может привести к неудов-

летворительным решениям и исказить целевую установку проек­та землеустройства.

Возникновение понятия «критерий оптимальности» было обус­ловлено разработкой оптимизационных моделей, в которых зада­валось достижение экстремального (максимального или мини­мального) значения какого-то экономического результата. В этой связи требовалось не только качественно определить показатели экономической функции, но и аналитически выразить их в виде конкретной математической функции. Поэтому в теории модели­рования возникло такое понятие, как целевая функция.

Целевая функция (функционал, целевая установка, функция цели) — это аналитическая форма выражения критерия опти­мальности задачи.

В связи с тем что развитие экономико-математического моде­лирования в землеустройстве началось с постановки и решения частных задач по оптимизации трансформации угодий, проекти­рованию севооборотов, планированию структуры посевов и т.д., в качестве критериев оптимальности использовались простейшие показатели оценки эффективности (эффекта) землеустройства. При этом эффективность землеустройства сводилась к экономи­ческой эффективности развития сельскохозяйственного произ­водства на конкретных сельскохозяйственных предприятиях, а в качестве целевых установок задач применялись критерии:

максимизирующие валовую и товарную продукцию в сто­имостном и натуральном выражении, валовой, чистый доход, прибыль, рентабельность производства, производительность труда и др.;

минимизирующие приведенные затраты, затраты труда, мате­риально-денежных средств, некоторые виды ресурсов (пашни, кормов и т. д.), себестоимость продукции;

обусловленные порайонными особенностями землеустрой­ства (минимум коэффициента эрозионной опасности культур, максимум оленеемкости пастбищ, максимум проектного покры­тия почв растениями, минимум смыва почвы, максимум накоп­ления в почве органического вещества и т. д.), отображаемые, как правило, в натуральном или безразмерном выражении.

При математическом моделировании экономических процес­сов в целом по народному хозяйству выделяют так называемые глобальный, а также отраслевой и локальные критерии опти­мальности.

Глобальный критерий оптимальности — это критерий функци­онирования народного хозяйства как целостной экономической системы общества. В настоящее время проблема построения ко­личественного значения глобального критерия оптимальности как математической функции цели не решена.

Математики-экономисты выделяют две основные концепции при решении этой задачи:

глобальный критерий — это максимум совокупного обще­ственного продукта или важных его составных частей (нацио­нального дохода, фонда накопления, фонда потребления и т. д.);

глобальный критерий должен максимизировать благосостоя­ние общества (его материальные и духовные потребности).

Однако сторонники и противники концепций понимают, что выбрать и обосновать глобальный критерий оптимального функ­ционирования народнохозяйственной экономической системы формально, математическими методами невозможно. Это слож­ная социально-экономическая проблема.

Отраслевой критерий оптимальности характеризует эффектив­ность отрасли или определенной сферы деятельности, каковой и является землеустройство.

Любая отрасль или сфера деятельности как подсистема народ­нохозяйственного комплекса имеет иерархическую структуру, элементы которой обладают определенной самостоятельностью, специфичностью, локальными целями, поэтому отраслевые кри­терии оптимальности могут реализовываться через локальные критерии оптимальности.

Экономические процессы, направленные на решение частных технико-экономических задач в землеустройстве, преследуют конкретные цели и оптимизируются с помощью частных крите­риев оптимальности, подчиняющихся требованиям локальных критериев.

Проблема эффективности землеустройства более подробно рассматривается в курсе «Экономика землеустройства».

В общем виде целевая функция линейной оптимизационной задачи записывается так:

Я

2~Р(х)= ХсуХу-»тах(пип)

У = 1

или в расширенной постановке

Г(х) = С|Х) + с₂х₂ +... + с„х„ — > тах (тш),

где с, — коэффициент целевой функции при переменных величинах; значение с, -в данной постановке должно быть известно.

Если задача предполагает определение оптимального плана, в котором за счет имеющихся производственных ресурсов должно быть произведено максимальное количество валовой продукции, то коэффициентами в целевой функции с^ будет стоимость вало­вой продукции, полученной в расчете на единицу принятой раз­мерности для переменных величин. Оптимальное решение сис­темы обеспечит достижение максимально возможного значения избранного показателя решения задачи, то есть максимума про­изводства валовой продукции в стоимостном выражении.

Таким же образом в качестве с, - могут использоваться извест­ные, рассчитанные заранее значения стоимости товарной про­дукции, валового или чистого дохода и т. д., что соответствует та­ким критериям оптимальности, как максимум стоимости товар­ной продукции, максимум валового дохода, максимум чистого дохода. То есть коэффициенты с* могут иметь как прямой харак­тер, например стоимость валовой продукции, так и быть расчет­ными (производными) величинами. Такими будут коэффициен­ты при решении экономико-математической задачи с целевыми функциями по максимуму прибыли (где с, — прибыль, получен­ная в расчете на единицу размерности, принятой по объекту, обозначенному х,), минимуму приведенных затрат (где с, - рассчи­тывается как $ + ЕК/, $ — себестоимость продукции по у'-й пере­менной; 2? —нормативный коэффициент эффективности капи­таловложений; А} —удельные капиталовложения на единицу раз­мерности, принятой по переменной х_у).

В последнее время для решения землеустроительных задач, имеющих природоохранный характер, используют и такой кри­терий оптимальности, как максимум чистого дохода в расчете на единицу приведенных затрат по каждой конкретной переменной Ху Тогда значение с_у- рассчитывают по следующей формуле:

с-=—^ ^{1 5}^^ЕК/

где Р/ — чистый доход по/-му объекту.

Многие землеустроительные задачи решаются по комбиниро­ванным (смешанным) критериям оптимальности, то есть по та­ким, которые предполагают вычисление целевой функции в про­цессе решения задачи.

Например, значение чистого дохода может вычисляться и так:

п Р(х)= X С'Х; -х₍; -> тах,

где с₇ — стоимость валовой продукции на единицу вводимой переменной; х-, — сум­
марные производственные затраты (вычисляются в процессе решения задачи, ис­
ходя из ограничения ^ 5 ос, --: *, ■ = 0, где 5) — себестоимость продукции на единицу
переменной). ■ '⁼¹

В целевую функцию значение х-, вводится с коэффициентом (—1). Таким образом, первая часть функционала представляет со­бой стоимость валовой продукции, вторая — производственные затраты, а все вместе — чистый доход, который и максимизиру­ется.

В ряде случаев используют критерии оптимальности, в кото­рых целевая функция имеет дробно-линейный вид. В числе таких критериев производительность труда и т. д. Так, в качестве оцен­ки переменных величин при названных критериях будет дробь

С -X ■

././_; а общая величина показателя качества решения задачи бу-

й: Х; '

дет определена как —_п -----, которая должна достичь макси­
му*/

У = 1

мального значения.

Решения, которые учитывают одновременно действие несколь­ких критериев оптимальности, называются субоптимальными.

При решении землеустроительных задач могут применяться и другие критерии оптимальности. Например, при оптимизации структуры посевных площадей в районах водной эрозии почв предлагалось использовать такие критерии оптимальности, как минимальный суммарный коэффициент эрозионной опасности культур (в условиях эрозии, вызываемой весенним снеготаяни­ем), а также максимум проективного покрытия почв растениями (в условиях ливневой эрозии).

Рассмотрим, как строится целевая функция с использованием первого критерия оптимальности.

Обозначим коэффициент эрозионной опасности культур че­рез К_к. Известно, что для зяби (пара) К_к~\, для пропашных культур 0, 7—0, 85, для яровых зерновых 0, 4—0, 6, для озимых 0, 3, для многолетних трав 0, 01—0, 06 в зависимости от года использо­вания.

Данные коэффициенты соответствуют участкам с крутизной склона от 3° до 8° (в среднем 6°). На ровной местности опасность смыва при любом составе культур близка к 0. Поэтому в К_к вво­дится поправка 8_Ь учитывающая крутизну склона:

где ^ — коэффициент эрозионной опасности с учетом рельефа местности; Гт — средняя крутизна склона по севообороту.

Опасность эрозионного разрушения зависит также от проти-воэрозионной устойчивости почв, поэтому в К_к1 вводится по­правка 8₂, учитывающая устойчивость почв к смыву:

где К_п = 5₂ — коэффициент, учитывающий противоэрозионную устойчивость почв.

При известных площадях пашни или севооборотов значение Су в целевой функции выглядит следующим образом:

_ К_к5ф₂

V

где Р/— площадь пашни или севооборота.

Целевая функция примет вид

/=1у=1 /=1у=1 ^

Для удобства вычисления значений А* умножают на 10 000. Для сахарной свеклы (А* =0, 85), выращиваемой в полевом сево­обороте площадью Р= 1000 га, со средней крутизной склона

3 3°5]=-=0, 5 при противоэрозионной устойчивости почв К_п =

о = 8₂ = 2 значение сд определится следующим образом:

_ 0, 85-0, 5-2-10000
^св 1000

Для многолетних трав в том же севообороте

0, 03-0, 5-210000

^смн.трав- ^₀д -^и> -> -

При решении задач на максимум с использованием коэффи­циента эрозионной опасности культур значение целевой функ­ции будет выглядеть следующим образом:

5 п (\-{К_к\Ьфу

V Ъ

Ху— > тах.

Почвозащитное значение сельскохозяйственных культур в пе­риод ливневых дождей сказывается иначе, чем в период снегота­яния. В этом случае значительную роль играют пропашные куль­туры (особенно в период сентябрьских ливней) и многолетние травы, образующие растительный полог, хорошо защищающий почву от эрозии. Поэтому в условиях ливневого стока в качестве критерия оптимальности целесообразно использовать максимум проективного покрытия.

Обозначим проективное покрытие культур в 1-й месяц вегета­ции через а. Средневзвешенное проективное покрытие /-и куль­туры будет определяться по формуле

** = —'

где /—число месяцев вегетационного периода.

Функция цели будет выглядеть следующим образом:
8 п 8 п а, -

где Р— площадь пашни.

Значение с_/у- для пропашных культур при площади пашни 1000 га и значениях проективного покрытия в мае 5%, июне— 20, июле — 50, августе — 80, сентябре — 100 % определяется так:

5+20+50+80+100 255., „
а, /= --------------------- =——=51%.

21.2. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

Известно, что при землеустроительном проектировании ре­шают многие вопросы. Во-первых, оптимизируется размещение объектов производственной и социальной инфраструктуры хо­зяйств; во-вторых, устанавливаются объемы производства сельс­кохозяйственной продукции, сочетание отраслей на предприяти­ях и размещение производства с учетом особенностей землеуст-раиваемой территории; в-третьих, определяются основные на­правления использования земель и организуется земельная площадь сельскохозяйственных предприятий. Поэтому составле­ние землеустроительного проекта — многоцелевая задача.

Правильно составленный и экономически обоснованный проект землеустройства должен обеспечивать получение макси­мального количества валовой и товарной продукции, прибыли, способствовать снижению (минимизации) издержек производ­ства, обеспечивать высокую производительность труда, низкую себестоимость продукции, а также создавать условия для посто­янного повышения плодородия почв.

Качество проекта землеустройства оценивается по многим по­казателям. Поэтому проектное предложение, получаемое в ре-

зультате оптимизации только по одному критерию, может ока­заться нелучшим. Использование других критериев оптимально­сти в отдельности создает аналогичную ситуацию, так как в каж­дом оптимальном плане значение выбранного в качестве целевой функции показателя экстремальное, а значения других —хуже, чем могли бы быть.

Известны примеры, когда план, максимизирующий объемы товарной продукции в стоимостном выражении, дает наиболь­шие издержки производства и, как следствие, наименьший чис­тый доход. В то же время план, максимизирующий чистый доход, может значительно снизить объем товарной или валовой продук­ции. Поэтому оба этих плана могут быть непригодны при состав­лении проекта землеустройства в реальной экономической ситу­ации.

В связи с этим возникает задача поиска такого решения, кото­рое было бы наилучшим (компромиссным) по выполнению всех критериев оптимальности. В теории экономико-математических методов и моделирования такое решение называется субопти­мальным.

Таким образом, субоптимальиое решение — это план, который учитывает одновременно действие всех критериев оптимальнос­ти данной задачи и отражает все реально поставленные условия, то есть субоптимальный план является или может быть неопти­мальным по каждому отдельно взятому критерию, но должен быть наилучшим с точки зрения выполнения всех критериев од­новременно (рис. 30).

В общей модели проекта землеустройства система ограниче­ний представлена линейными неравенствами и уравнениями, выделяющими в евклидовом «-мерном пространстве некоторый

Рис. 30. Геометрическая интерпретация многокритериальных землеустроительных

задач

выпуклый многогранник. Величина этого многогранника сильно влияет на точность планов, полученных разными способами.

Если многогранник мал, любое допустимое решение будет близко по своему экономическому эффекту к оптимальному. В этом случае поиск субоптимального решения необязателен.

Если многогранник вырождается в точку, то план, найденный любым способом, будет оптимальным, поскольку он в задаче единственный.

В случае, если многогранник допустимых решений имеет зна­чительные размеры, произвольный допустимый план, например полученный традиционными методами (эмпирический), может отличаться от оптимального по любому критерию весьма суще­ственно. Будет он отличаться и от субоптимального плана.

При отыскании минимума целевой функции с положительны­ми коэффициентами при неизвестных оптимум получается в вершине, достаточно близкой к началу координат, при нахожде­нии максимума — в наиболее удаленной вершине. Точка, соот­ветствующая субоптимальному плану, располагается в области допустимых решений где-то между минимальной и максималь­ной вершинами в зависимости от значимости критериев.

Учитывая это, для поиска субоптимальных решений были предложены методы, учитывающие различную предпочтитель­ность критериев оптимальности: последовательных уступок, штрафных функций, равных и наименьших относительных от­клонений, линейного мультипрограммирования, выпуклой ком­бинации. Обзор этих методов дан в научной работе А. М. Они-щенко (Критерии оптимизации сельскохозяйственного произ­водства и методы нахождения наиболее эффективных планов по нескольким критериям. — Киев, 1970), а также в учебнике про­фессора А. М. Гатаулина (Математическое моделирование эко­номических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Га­таулина. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 134—139).

Получение субоптимальных планов в экономике называют еще решением многокритериальных задач, многоцелевой опти­мизацией или решением задач с векторным критерием качества.

Исследования показали, что при решении таких задач необхо­димы:

обоснование набора (перечня) критериев, подлежащих рас­смотрению в данной модели;

оценка относительной предпочтительности критериев или по­строение некоторой шкалы предпочтительности;

определение условий возможного компромисса (выбор схемы компромисса) и обоснование метода нахождения компромиссно­го варианта решения (выбор схемы расчета обобщенного крите­рия).

Набор (перечень) возможных критериев определяется характе­ром исследуемого экономического процесса и устанавливается

на основе логического анализа. На практике редко встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать более трех-четырех критериев.

При оценке предпочтительности различных критериев опти­мальности землеустроительных задач с использованием эксперт­ных оценок можно построить специальную шкалу. В шкале усло­вия предпочтительности могут быть выражены в баллах оценки каждого к-то критерия из некоторого множества ^ или в виде не-

5 которых весовых коэффициентов р_к; при р_к > О ^р_к=1.

к=\

При невозможности установить шкалу предпочтительности исходят из предположения экономической равнозначности кри­териев, и их ранжирование не производится:

р_к=±(к=1, 2,..., 5).

Условия возможного компромисса определяют путем:

минимизации относительных отклонений от оптимальных значений по всем рассматриваемым критериям;

фиксирования одного из критериев на некотором заданном уровне и оптимизации по следующему критерию и т. д.

В соответствии с различными условиями компромисса разра­ботаны методы нахождения многокритериальных компромис­сных или субоптимальных решений.

Метод последовательных уступок состоит в отыскивании опти­мума наиболее предпочтительного критерия, затем экстремаль­ная величина уменьшается (или увеличивается) посредством вве­дения в задачу нового ограничения. В расширенной задаче нахо­дится экстремум второго критерия, после чего вводится допол­нительное ограничение на его величину (делается вторая уступка). В новой задаче оптимизируется третий критерий и т. д., пока все критерии не будут использованы. Метод обладает тем недостатком, что степень приближения окончательного решения к каждому отдельному оптимуму, кроме первого, остается нео­пределенной, и решение может оказаться ближе к экстремуму по менее важному критерию.

Метод штрафных функций заключается в том, что к основному критерию прибавляются некоторые специальные функции, сформулированные по остальным критериям. Эти так называе­мые штрафные функции ухудшают значение функционала тем больше, чем больше отклоняются от своих экстремальных значе­ний учитываемые ими показатели. Решив задачу по новому кри­терию, получим субоптимальный план.

Если связать два критерия в одной целевой функции посред-

ством некоторого параметра, то компромиссный план может быть найден путем решения задачи параметрического програм­мирования. Иногда оказывается возможным по тем же исходным данным составить дробно-линейный критерий, который также оптимизируется. Из полученной совокупности оптимальных пла­нов выбирают наилучший по выполнению всех трех критериев. (Применение математических методов при внутрихозяйственном землеустройстве. Заключительный отчет ГИЗР. —Б. Вяземы, 1975.-С. 159-160).

Метод равных и наименьших относительных отклонений, пред­ложенный И. Ныковским (Польша), состоит в следующем. Ис­ходная задача решается по каждому критерию отдельно, для всех критериев вычисляют экстремальные значения. После этого ста­вится требование, чтобы компромиссному плану соответствова­ли равные и минимальные относительные отклонения всех кри­териев от своих экстремальных значений. Равенство отклонений обеспечивается дополнительными ограничениями, вводимыми в задачу, минимизация — новой целевой функцией. Предпочти­тельность критериев можно учесть путем введения поправочных коэффициентов. Решение такой «замещающей» задачи дает ком­промиссный план.

Способ линейного мультипрограммирования, разработанный чешским ученым И. Саской, по характеру математических опера­ций лучше назвать способом минимакса. После отыскания опти­мума для каждого рассматриваемого критерия в многограннике решений определяется точка, максимальное удаление которой от всех гиперплоскостей, соответствующих экстремальным значе­ниям функционалов, было бы минимально. Эта точка и считает­ся субоптимальной (Математическое моделирование экономи­ческих процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаули-на. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 136—137).

По методу выпуклой комбинации, предложенному немецким исследователем X. Юттлером, сначала отыскивают оптимальные планы по каждому критерию, а затем составляют их выпуклую линейную комбинацию, коэффициенты которой определяют из решения дополнительной задачи (Юттлер X. Линейная модель с несколькими целевыми функциями// Экономика и математичес­кие методы, 1967. — № 3).

Рассмотренные методы разработаны для решения только ли­нейных задач. Однако общая модель землеустроительного проек­та, в которую целесообразно включение нескольких функциона­лов, содержит задачу размещения производственных центров, вызывающую разрыв почти всех целевых функций. Кроме того, некоторые важнейшие экономические показатели (например, рентабельность) имеют дробно-линейную структуру. Поэтому в Государственном научно-исследовательском институте земель­ных ресурсов (ГИЗР) на основе метода выпуклой комбинации в

1970—1975гг. И.Ф.Полуниным был разработан и апробирован для землеустроительных задач специальный способ получения субоптимальных решений без привлечений теории игр, как это имело место у X. Юттлера (Полунин И. Ф. Субоптимальные ре­шения при обосновании землеустроительных проектов. — В сб.: Вопросы землепользования и землеустройства. Научные труды ГИЗР. - М., 1974. - № 10. - С. 56-63).

Рассмотрим порядок применения этого метода для решения землеустроительных задач.

Пусть требуется найти максимум (минимум) г показателей:

Ъс⁼Рк(Х1, ^х2, ■ ■; ^х„), к=\, 2,..., Г

при условиях

Мх[, х₂,..., х„)> 0, /= 1, 2,..., т.

Решим задачу отдельно по каждому критерию и вычислим со­ответствующие оптимальные планы:

Х[(хр, _хр,..., х1Р), /=1, 2,..., г.

Будем считать компромиссным планом вектор Х₀(Х[, х₂,..., х®),

являющийся выпуклой линейной комбинацией найденных опти­мальных решений:

Х§-Х\Х\ +Х2Х2 + ---+Х_ГХ_Г',

ЪМ=1, \_к> 0, к = 1, 2,..., г.

к = \

Если область определения исходной задачи выпуклая, то та­кой план всегда окажется допустимым. Следовательно, данная задача заключается в определении значений X.

Используя значения X, можно вычислить все переменные суб­оптимального плана следующим образом:

х? =Х₁х1¹⁾+Х₂х[²⁾ +...+Х_гх1^г) _х^=Х₁х^⁾+Х₂х^⁾ +...+Х_гх^{₂^г)

х®=Х_{х^+Х₂х^ +...+Х_гх^

Коэффициенты Х_к выпуклой комбинации И. Ф. Полунин

предложил определить, исходя из условия минимума наибольше­го относительного отклонения величины каждого критерия в компромиссном плане от его экстремального значения. Для это­го предлагалось использовать следующий путь. Подставим каж­дый оптимальный план Х[ в каждую целевую функцию г_к. Полу­чим численные значения функционалов:

4/=^(*Л ^к= Ь ²> -■ -> ^г' ¹⁼¹> ²> ■ ■ ■ > ^г>

которые при к=1 будут экстремальными. Вычислим коэффициенты а_ш по формуле

^акГ

*№)-*№)

*№>

1к1-1кк

1кк

к=\, 2,..., г, /=1, 2,..., г.

Они представляют собой модули относительных отклонений величин критериев в разных оптимальных планах от их экстре­мальных значений. При к = 1 имеем а_кк=ац=0. Все коэффици­енты сведены в таблицу 147.

147. Вычисление значений а_к1

Первый оптимальный план Х\ войдет в компромиссное ре­шение с коэффициентом Х_{; он привнесет с собой такую же долю относительного отклонения первого функционала от экстре­мального значения, то есть величину а_пХ\. Второй частный опти­мум Х2 будет включен в эффективный план с коэффициентом А.₂, относительное отклонение в нем первого критерия от своего экстремума войдет в эффективный план с той же долей Х₂ и со­ставит а₁₂Х₂. Продолжая рассуждения, получаем отклонение пер­вого критерия из-за третьего частного оптимума а₁₃\₃, из-за чет­вертого — а₁₄А.4 и т. д.

Сумму указанных величин будем считать относительным от­клонением V! первого критерия в компромиссном плане от его экстремального значения:

а_иХ\ + «12^2 +... + С1}_ГХ_Г= V).

Аналогичное выражение можно составить для второго, третьего и всех последующих функционалов. В итоге получим систему

а*: 1^) ⁺ а_к2Х₂ +... + а_кг\_г = ч_ь к= 1, 2,..., г.

В случае предпочтительности каких-либо критериев левая часть нужных уравнений умножается на соответствующий коэф­фициент.

Из приведенных выражений видно, что все отклонения м_к неотрицательны:

^> 0, /с=1, 2,..., г.

Выберем из них наибольшее отклонение

тах м_к = V

и согласно сформулированному выше требованию будем его ми­нимизировать.

Целевая функция II но вой задачи имеет вид

11= тт (тах) у_к,

или

11= V -> тт.

Заменяя во всех уравнениях правые части наибольшим откло­нением V, приходим к системе нестрогих неравенств:

%)А, 1 + а_к21₂ + - + а_кгХ_г< у, к=1, 2,..., г. г

Добавив условие ^Х_к=1, получаем следующую задачу линей-

ного программирования: найти минимум функции

Ш= V -> Ш

при ограничениях

Приведем пример задачи по установлению сочетания отрас­лей и структуры земельных угодий на одном из сельскохозяй­ственных предприятий, которая решалась по следующим четы­рем критериям оптимальности (максимумам):

чистого дохода;

производственных затрат;

валовой продукции;

товарной продукции.

На первом этапе решения задачи было получено четыре опти­мальных плана с перечнем переменных.

На втором этапе значения этих переменных поочередно под­ставлялись в каждую целевую функцию, в результате чего опре­делились 16 значений функционалов, на основании которых было вычислено 16 коэффициентов а_к1 (табл. 148).

148. Числовые значения а_к1*