Интегрирование рациональных дробей.

1. Интегрирование простейших дробей.

Рациональной дробью называется дробь вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь называется неправильной.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа получаем

где здесь откуда

Примеры:

1.

2.

Решение: Выделим в знаменателе полный квадрат:

Сделаем подстановку в результате получим

Возвращаясь к переменной получим

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Пример1. Вычислить интеграл

Решение: Подынтегральная функция правильная рациональная дробь. Разложим на простейшие дроби

Сравнивая коэффициенты при и

Решая эту систему найдем поэтому искомое разложение

имеет вид

Следовательно