Моделирование поведения отдельного потребителя с учетом статистической функции спроса

Для моделирования поведения отдельного потребителя с учетом статистической функции спроса используем результаты эконометрического анализа функции спроса в модели поведения l Î L потребителя. Рассмотрим для простоты рассуждений линейную функцию спроса (5.2.1):

q = a _o ' + a _xp_х +a _yp_y + a _bb_x +a _hh_x,

преобразуем это выражение, предполагая, что факторы p_y, b_x, h_x не изменяются, а q = x_ql (t), " l Î L, в итоге получим:

p_х = a _o + a _q x_ql (t), " l Î L, (5.2.9)

где a _o = (a _o ' +a _yс_y + a _bb_x +a _hh_x)/a _x, a _q =1/a _x. Перенесем все (Q +1) переменные в левую часть и приведем равенство к стандартному виду:

p - a_qx_ql (t)= b^d, " l Î L, (5.2.10)

где p = p_х, a_q =a _q, b^d = a _o. С учетом (5.2.10) задача (5.2.3)-(5.2.4) примет вид:

" l Î L, min f_l (X (t))= p x_ql (t), (5.2.11)

при ограничениях

p - a_qx_ql (t)= b^d, (5.2.12)

b £ p_qx_ql (t)£ b , x_ql(t)³ 0, (5.2.13)

где f_l (X (t)) - целевая функция (критерий), p, x_ql, q = , " l Î L - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача векторной оптимизации (5.2.11)-(5.2.13) – не линейна, в ней потребитель минимизирует свои затраты, за счет стоимости;

(5.2.12) - ограничения по спросу на данном рынке (функция спроса);

(5.2.13) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям l -го потребителя и не отрицательным переменным.

Задача (5.2.11)-(5.2.13) является моделью поведения любого l Î L потребителя, учитывающая функции спроса-предложения, на дискретный период t Î T.

Методологию построения модели моделирования на ее основе, покажем на небольшом числовом примере, хотя модель (5.2.11)-(5.2.13) и методы позволяют решать и более объемные задачи.

Пример 5.2. (Нелинейная модель потребителя с учетом функции спроса).

Дано. У производителя телевизионных приемников имеются данные о цене и количестве проданных телевизоров за последний месяц в десяти точках розничной торговли города. Объем продаж будем считать переменной, а цену – исходной. Статистические данные о продажах представлены в табл. 5.1. [3][2].

Таблица 5.1

Статистические данные о цене и количестве проданных телевизоров

Экономические показатели производителей и потребителей продукции представлены в примере 5.1 и построенной на их основе задачи линейного программирования (5.2.5)-(5.2.6).

Построить оптимизационную модель спроса и рассчитать оптимальную цену и объемы покупок у обоих производителей.

Решение проведем в три этапа: построение функции спроса, используя статистические данные табл. 5.1.; построение модели спроса на ее основе и расчет оптимальной цены и объемов покупок.

Построение функции спроса базируется на использовании регрессионного анализа статистических данных табл. 5.1. Построим линию регрессии и определим статистические параметры регрессии.

Введем статистические данные табл. 5.1 в электронные таблицы программы Statistica (Система программного обеспечения анализа данных) [8] и поведем расчет. В результате расчета получим: средние значения цены и реализуемого товара, а также данные регрессионного анализа. Таким образом, функцией линейного спроса на телевизоры, при которой минимизируется квадрат погрешностей между множеством фактических точек и линией, произведенной через это множество, является уравнение:

q = 1631, 47 – 2, 60p_х. (5.2.14)

где q - количество купленных изделий (шт.), p_х – стоимость одного изделия.

Это уравнение и соответствующие параметры регрессионного анализа показаны на рис. 5.2.

На этом рис. представлен заголовок, предназначенный для идентификации выдаваемой информации, далее следуют данные о количестве наблюдений и переменных, введенных в программу. Ниже следуют имена переменных, средние значения и стандартные отклонения. Далее показаны параметры a и b в оценочном уравнении регрессии _i = a - b X_i. Остальные параметры регрессионного анализа представим ниже.

Рис. 5.2. Функция спроса и параметры регрессионного анализа

Построим оптимизационную задачу (5.2.10)-(5.2.13) с учетом функции рыночного спроса (5.2.14), которая получится путем ее преобразования к виду: x ₁ + x ₂ = 1631.47 – 2.60 p, где p = p_х определяет величину рыночной стоимости на товар – телевизоры, при объеме спроса: q = x ₁ + x ₂ .

В итоге получили задачу нелинейного программирования:

min f (X) = px ₁ + px ₂ , (5.2.15)

при ограничениях x ₁ + x ₂ + 2.6 p = 1631.47, (5.2.16)

100000≤ px ₁ + px ₂ ≤ 300000, (5.2.17)

400 x ₁≤ 150000, 400 x ₂≤ 150000, (5.2.18)

x ₁, x ₂, p ³ 0, (5.2.19)

где X ={ x ₁, x ₂, p } – вектор неизвестных, определяющий конструктивные параметры рыночного спроса индивидуального потребителя.

Решим задачу нелинейного программирования (5.2.15)-(5.2.19), используя алгоритм решения из системы Matlab [18], представленный функцией fmincon (…) в виде:

[ x 1 min, f 1 min ]= fmincon (' Krit ', Xo, A, b, Aeq, beq, lb, ub, ' NonLinConst ', options), где входные параметры:

' Krit ' – наименование подпрограммы, в которой на языке " Фортран" представлен нелинейный критерий;

Xo – начальная точка для оптимизации;

A, b – матрица и вектор линейных ограничений типа неравенств;

Aeq, beq – матрица и вектор линейных ограничений типа равенств;

lb, ub – нижняя и верхняя граница, накладываемая на переменные;

' NonLinConst ' – наименование подпрограммы, в которой на языке " Фортран" представлен нелинейные ограничения;

options –опция, указывающая на оператор следующего вида: options = optimset (options, ' GradObj ', ' on ', ' GradConst ', ' on '), где ' GradObj ' и ' GradConst' - наименование подпрограмм, в которых на языке " Фортран" представлены градиенты нелинейных критерия и ограничения;

выходные параметры: x1min – точка оптимума, f1min – величина целевой функции в точке оптимума.

В результате решения задачи получим:

X ^*= x1min ={ x ₁=31.1, x ₂=147.9, p =558.64}, f ^*= f1min =100000.

Минимальный уровень спроса определяется, во-первых, объемом бюджетных средств, которые представлены вторым ограничением R ₂= px ₁+ px ₂=100000, во-вторых, кривой спроса:

2.6 p + x ₁ + x ₂ = 2.6*558.6+31.1+149.1=1631.47.

Результаты: c=558.6 и q = x ₁+ x ₂=180.2 представляют координаты точки функции спроса на рис. 7.2.

Таким образом, в рассмотренной оптимизационной модели индивидуального потребителя (5.2.15)-(5.2.19) полученный результат учитывает, с одной стороны, бюджет потребителя, а с другой соответствует функции спроса.