Построение модели развития экономики региона в виде векторной задачи линейного программирования

Для построения модели развития экономики региона используем агрегированную модель региона («отрасли - регион»), являющейся дальнейшим развитием модели («предприятия - отрасли - регион»), представленной впредыдущей главе. Введем понятие вектора переменных (или управляющих переменных), критериев и ограничений, накладываемых на развитие экономики региона.

Вектор переменных. В его качестве примем:

X(t)={x_j(t), j= } – вектор-столбец, каждая компонента которого определяет валовой объем выпуска продукции j-го вида деятельности в t-ом периоде (tÎ Т), показан на рис. 1, где n – множество видов деятельности на уровне разделов и подразделов, в соответствии с ОКВЭД [8], т.е. - это агрегированные виды деятельности, которые примерно соответствуют отраслям в старом понимании этого слова, Т – плановый период.

Y(t)={y_j(t), j= } – вектор-столбец, каждая компонента которого определяет конечное использование (спроса) продукции j-го вида деятельности отрасли. Каждая компонента y_j(t) является составной частью вектора x_j(t). Для любой отрасли конечное использование y_j(t) определяется суммой конечного потребления y_j^пот(t), накопления y_j^нак(t) и чистого экспорта y_j^э(t): y_j(t) = y_j^пот(t)+y_j^нак(t) + y_j^э(t), j= .

I (t)={ I _j^ин(t), j= } – вектор-столбец, каждая компонента которого определяет валовой объем инвестиций, вкладываемых в увеличение производственных мощностей j-го вида деятельности.

В совокупности они определяют вектор переменных:

X(t) ={X(t), I (t), Y(t)}, размерностью 3*n.

Критерии. Цель развития региона определяется постоянным увеличением благосостояния каждого жителя региона, которое зависит от роста объема выпуска каждого вида деятельности (отрасли) и соответствующих налоговых отчислений. Поэтому в качестве критерия примем максимум конечного использования каждого вида продукции:

max Y(t) = {max y_j(t), j = }.

В целом по региону учитываются агрегированные показатели:

X^val(t)= - валовой (совокупный) региональный продукт, представляющий сумму валовых выпусков продукции;

Y^val(t)= - валовое конечное использование, представляющее сумму валового конечного использования выпусков продукции всех видов деятельности

В совокупности они представляет векторный критерий оптимизации:

Opt F(X, Y)= {max Y(t), max X^val(t), max Y^val(t)}. (14.1.1)

Ограничения. В модели экономики региона предусматривается три вида ограничений: балансовые, ресурсные и мощности.

Балансовые ограничения вытекают из анализа межотраслевого баланса.

Валовой объем выпуска производящей отрасли равен сумме стоимостей продукции произведенной этой отраслью и переданной (проданной) во все отрасли и конечной продукцией отрасли:

X_i(t) = a_ijX_j(t) + y_i(t), i= , (14.1.2)

где X_i – валовой выпуск продукции i-ой отрасли, a_ijX_j(t) - промежуточное потребление, a_ij – коэффициенты прямых затрат, полученных от i-го вида деятельности, на производство единицы продукции j-го вида деятельности.

Уравнения (14.1.2) называются балансами «выпуска».

Валовой объем выпуска потребляющей отрасли равен сумме материальных затрат на производимую продукцию в других отраслях и денежный доход от производства продукции:

X_j(t) = a_ij′ X_j(t)+z_j(t), j= , (14.1.3)

где z_j(t) – денежный доход от производства продукции j-ой отрасли, включающей в себя заработанную плату z₁(t), налоги z₂(t), амортизацию z₃(t), прибыль z₄(t) и пр., т. е. z_j(t)=z_1j(t)+z_2j(t)+z_3j(t)+z_4j(t), j= - валовая добавленная стоимость j-го вида деятельности.

Уравнения (14.1.3) называются балансами «затрат».

В матричном виде эти ограничения примут вид:

X(t) = AX(t) + Y(t), X(t)=A′ X(t) + Z(t), (14.1.4)

где A = {a_ij, i, j= } – матрица прямых затрат.

В совокупности балансовые уравнения (14.1.4) называются моделью Леонтьева «затраты - выпуск» [1].

Ограничения по ресурсам определяются тем, что для производства единицы продукции j-ой отрасли требуются первичные факторы (ресурсы), не являющиеся продукцией других отраслей, к которым относятся труд, земля, полезные ископаемые, финансовые ресурсы и пр.

Обозначим r_ij – объемом затрат i-го ресурса на производство единицы продукции j-ой отрасли:

R = {r_ij, j= , i = }.

В целом ограничения примут вид:

RX(t) ≤ b(t⁰) + ∆ b(t⁰ + ∆ t), (14.1.5)

где b(t⁰) = {b_i, i= } – объемы i-го ресурса, имеющегося в распоряжении региона на начальный период планирования t⁰Î T;

∆ b(t⁰+∆ t) = b(t⁰+∆ t)-b(t⁰) – вектор приращений учитываемых ресурсов в планируемом периоде (t⁰+∆ t), ∆ t=0, 1, 2, …, Т.

Ограничения по мощностям определяются как максимально возможные значения объемов производства X(t) по всем видам деятельности, которое лежит в пределах:

x_j(t⁰) ≥ x_j(t) ≥ x_j(t⁰+∆ t), j= ,

где x_j(t⁰) – объемы производства (выполненных работ) j-го вида деятельности в t⁰ периоде, практически это отчетные данные за текущий период от (t⁰-1) до t⁰; ∆ t – планируемый период времени, как правил один год, t, (t⁰+∆ t)Î T; x_j(t⁰+∆ t) – максимальные объемы производства, которые j-й вид может достичь на планируемый период времени (t⁰+∆ t)Î T.

Обозначим Φ _j(t⁰) – стоимость основных фондов j-го вида деятельности в t⁰, Φ _j(t⁰) представляет те инвестиции, которые вложили (с учетом выбытия) в производственные мощности j-го вида деятельности до t⁰. Взаимосвязь объемов производства x_j(t⁰) со стоимостью основных фондов Φ _j(t⁰) может быть выражена коэффициентом «фондоотдачи» [8, стр. 408]:

φ _j(t⁰) = , j= .

Коэффициент «фондоотдачи» характеризует съем продукции в денежном выражении от одного рубля стоимости основных фондов.

Стоимость основных фондов Φ _j(t⁰+∆ t) на период времени (t⁰+∆ t)Î T зависят от Φ _j^изн(t⁰+∆ t) – износа оборудования за период (t⁰+∆ t) и инвестиций за этот период I _j^ин(t⁰+∆ t), т. е. величина инвестиций увеличивает стоимость основных фондов на свою величину (хотя и не полностью):

Φ _j(t⁰+∆ t)= Φ _j(t⁰)- Φ _j^изн(t⁰+∆ t)+ I _j^ин(t⁰+∆ t), j= .

Величина инвестиций I _j^ин(t⁰+∆ t), j= зависит от:

I _j^ам (t⁰+∆ t) – амортизационных отчислений (инвестиций), идущих на восстановление мощностей j-го вида деятельности;

I _j^ин(t⁰+∆ t) – инвестиций, вкладываемых в увеличение производственных мощностей j-го вида деятельности: инвестиции на уровне фирмы I _j^ин.ф.(t⁰+∆ t), государственные ассигнования на уровне региона I _j^ин.рег.(t⁰+∆ t) и государства I _j^ин.гос.(t⁰+∆ t) в виде «целевых программ»:

I _j^ин(t⁰+∆ t)= I _j^ин.ф.(t⁰+∆ t)+ I _j^ин.рег.(t⁰+∆ t)+ I _j^ин.гос.(t⁰+∆ t), j= .

В совокупности объемы производства на планируемый период (t⁰+∆ t)Î T по j-му виду деятельности равны:

x_j(t⁰+∆ t)=x_j(t⁰) - x_j^изн(t⁰+∆ t) + φ _jk_j^ам I _j^ам(t⁰+∆ t) + φ _j I _j^ин(t⁰+∆ t), j= , (14.1.6)

где φ _j – коэффициент «фондоотдачи», k_j^ам – коэффициент использования амортизационных отчислений, j= ;

x_j^изн(t⁰+∆ t)= φ _j Φ _j^изн(t⁰+∆ t), Φ _j^изн(t⁰+∆ t)=k_j^изн Φ _j^от(t⁰).

где Φ _j^изн(t⁰+∆ t) – объем изношенных основных фондов, k_j^изн – коэффициент износа (выбытия) основных фондов.

В равенстве (14.1.6) величины

∆ x_j(t⁰+∆ t) = -x_j^изн(t⁰+∆ t)+φ _jk_j^ам I _j^ам(t⁰+∆ t)+φ _j I _j^ин(t⁰+∆ t), j= ,

определяют темпы роста мощностей j= видов деятельности в натуральных показателях (выраженных в денежных единицах), при этом, если ∆ x_j(t⁰+∆ t)> 0, то идет обновление основных фондов, если ∆ x_j(t⁰+∆ t)< 0, то идет устаревание основных фондов.

Отсюда производственные мощности всех видов деятельности региона лежат в пределах x_j(t⁰) ≤ ∆ x_j(t) ≤ x_j(t⁰)+∆ x_j(t⁰+∆ t), j= , или в матричном виде:

X(t⁰) ≤ X(t) ≤ X(t⁰+∆ t). (14.1.7)

Отношение t_j = представляет показатель темпов роста (устаревания) j-го вида деятельности в относительных единицах.

Обновление основных фондов и как следствие производственных мощностей зависит от величины инвестиций и коэффициента «фондоотдачи».

Коэффициент «фондоотдачи» φ _j по существу представляет вектор-столбец затрат (обозначим его φ ), которые идут на покупку товаров и услуг - результатов n – видов деятельности, в совокупности дающих увеличение производства (мощности) j-го вида деятельности на один руб. φ ={φ _ij, i= }, " jÎ n, =1 или φ _j = . В целом по всем видам деятельности φ , j= , представляет матрицу норм воспроизводства всех видов деятельности:

V ={φ ={φ _ij, i= }, j= }.

Матрица норм воспроизводства V вместе с инвестиционными затратами I ^ин:

V I ^ин = {φ _j(I _j^ин(t⁰+∆ t) + I _j^ам(t⁰+∆ t)), j= }

определяет объемы производства i= видов деятельности и соответственно затрат для j= видов деятельности, направленных для увеличения мощностей j= видов деятельности. В итоге уравнения межотраслевого баланса (14.1.2) примут вид:

X_i(t+∆ t) = a_ijX_j(t+∆ t) + φ _ij I _j^ин(t+∆ t) + y_i(t+∆ t), i= , (14.1.8)

или в матричном виде:

X(t+∆ t) = AX(t+∆ t)+V I (t+∆ t) +Y(t+∆ t), (14.1.9)

где V I матрица воспроизводства в регионе. Подобный подход к блоку инвестиций рассмотрен в работе [66]. Равенства (14.1.9) показывают, что все отрасли региона должны трудиться не только на промежуточное потребление AX(t+∆ t) и производство продукции конечного спроса Y(t+∆ t), что было рассмотрено раннее, но и на свое воспроизводство V I (t+∆ t).

Цель развития региональной экономики направлена улучшение благосостояния населения региона, т. е. увеличения (максимизации) продукции конечного использования (спроса - КС) всех видов деятельности региона, с учетом их воспроизводства на каждый период планирования. Эта целенаправленность можно выразить критерием (14.1.1) при условии выполнения ограничений (14.1.2)-(14.1.9), что в совокупности представляет векторную задачу линейного программирования:

Opt F(X, I, Y)= {Y(t) = {max y_j(t), j = }, (14.1.10)

max Y^val(t)= y_j(t), (14.1.11)

max X^val(t)= x_j(t)}, (14.1.12)

при ограничениях

(I-A)X(t)-V I (t) ³ Y(t), (14.1.13)

X(t)=(1-k^изн)X(t⁰) + φ I (t), (14.1.14)

RX(t) ≤ b(t⁰+∆ t) + ∆ b(t), (14.1.15)

X(t⁰) ≤ X(t) ≤ X(t⁰+∆ t), I (t⁰) ≤ I (t) ≤ I (t⁰+∆ t),

Y(t⁰) ≤ Y(t) ≤ Y(t⁰+∆ t), t⁰+∆ t= t⁰, t⁰+1, …, t⁰ +T, (14.1.16)

где (10)– векторный критерий максимизации КС видов деятельности; (14.1.11)-(14.1.12) - суммарный (валовой) конечный спрос (использование) и выпуск регионального продукта соответственно; (14.1.13) - межотраслевые балансовые ограничения с учетом инвестиций; (14.1.14) – блок воспроизводства выпуска продукции с учетом инвестиций из (14.1.6):

I (t)=φ _jk_j^ам I _j^ам(t) + φ _j I _j^ин(t), j= ;

(14.1.15) – ограничения по ресурсам; (14.1.16)- ограничения по производственным мощностям, инвестициям и КС отраслей на соответствующий планируемый период ∆ t=0, 1, …, T.

Задача (14.1.10)-(14.1.16) представляет векторную задачу линейного программирования являющейся математической моделью развития экономики региона с учетом воспроизводства на планируемый период tÎ T.

Для решения задачи (14.1.10)-(14.1.16) используется алгоритм, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата [6].

Задача (14.1.10)-(14.1.16) решается в динамике с периодом планирования, как правило, один год, ∆ t=0, 1, 2, …, T.

В результате решения получим:

1) точку оптимума:

X^o(t) ={X^o(t)={x (t), j= }, I ^o(t)={ I (t), j = }, Y^o(t)={y (t), j = }}, (14.1.17)

где X^o(t) - валовые выпуски, I ^o(t) - инвестиции для всех отраслей (видов деятельности) и Y^o(t) - конечное использование региона на период планирования tÎ T;

2) конечное использование всех отраслей измеренное в относительных единицах - l_j(y (t)), j = , - такое измерение позволяет сравнивать развитие отраслей друг с другом:

l_j(y (t))= , j = , (14.1.18)

где f - наилучшее решение задачи (14.1.10)-(14.1.16) по j-му критерию (отрасли), f - наихудшее решение задачи (14.1.10)-(14.1.16) по j-му критерию;

3) максимальный относительный уровень l^o(t) для всех критериев l_j(y (t)), j= , он также называется гарантированным результатом в относительных единицах, который гарантирует, что все отрасли, измеренные в относительны единицах, l_j(y (t)) в точке оптимума {X^o(t), I ^o(t), Y^o(t)} равны или больше l^o(t), т.е. l_j(y (t)) ³ l^o(t), или

l^o(t) ≤ l_j(y (t)), j = ; (14.1.19)

т. к. критерии (виды деятельности) независимы [6], то l^o(t)=l_j(y (t)), j= , для критерия (14.1.10), и l^o(t) £ l_k(y (t)), k=1, 2 для критериев (14.1.11)-(14.1.12), т. е. l^o(t) является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок l_k(X(t)), k= , а в соответствии с теоремой 2 стр. 29 [6], точка {l^o, X^o, Y^o} оптимальна по Парето;

4) полученная точка оптимума X^o(t) ={X^o(t), Y^o(t), I ^o(t)} дает возможность определить основные технико-экономические показатели региона, включенные в план, и соответствующие межотраслевые затраты:

x_ij(t)= a_ijx_i(t), " iÎ N.