Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решения, получаемые с помощью прямых методов, обычно содержат погрешности, вызванные округлениями при выполнении операций над числами. Рассмотрим методы, позволяющие уточнить решение, полученное с помощью прямого метода, либо самостоятельно получить это решение.

Первым шагом в итерационном методе является преобразование исходной системы к виду

, (3.1)

где матрицы и вектор определяются по матрице и вектору . При этом обе системы являются эквивалентными, т.е. их решения совпадают. Вторым шагом является расстановка индексов в (3.1) и задание нулевого приближения, т.е.

, (3.2)

где - заданный вектор. Оценка погрешности - го приближения определяется соотношением

, (3.3)

где - точное решение исходной системы.

Оценка (3.3) при заданном позволяет осуществлять остановку итерационного процесса.

Различные итерационные методы отличаются выбором матриц и вектора .

Если , то метод построения последовательных приближений (3.2) принято называть методом простых итераций. Известен следующий результат о сходимости метода простых итераций: если норма матрицы меньше единицы, то последовательные приближения

(3.3)

сходятся к единственному решению системы со скоростью геометрической прогрессии при произвольном векторе нулевого приближения . Наиболее целесообразным в качестве компонент взять приближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой либо прямыми методами.

Таким образом, процесс сходится, если выполняется одно из условий:

.

Если < 1, то можно дать оценку погрешности метода простой итерации:

. (3.4)

Оценка (3.4) называется априорной оценкой погрешности итерационного процесса, т.к. не проводя вычислений по и можно оценить погрешность -го приближения .

Можно показать, что если элементы матрицы удовлетворяют одному из условий

,

то процесс итерации сходится к точному решению системы при любом . Оценка погрешности этого приближенного решения дается одной из формул:

Приведение исходной системы к виду можно осуществить различными способами. Если диагональные элементы матрицы не равны нулю, т.е. , то исходную систему можно записать в виде

. (3.5)

В этом случае элементы матрицы определяются следующим образом:

. (3.6)

Пример 3. Решить систему линейных уравнений

методом итераций с погрешностью, не превышающей =0.01.

Решение. Используя выражения (3.5), (3.6) получим:

.

Нормы матрицы =0.82 и . Следовательно, выполнены условия сходимости алгоритма простой итерации. В дальнейшем, для определенности, будем использовать норму . Полагая в качестве нулевого приближения вектор , выполним несколько последовательных шагов итерационного процесса в соответствии с выражением (3.3). Результаты расчетов приведены в таблице:

Таблица 3.1

	2.114	3.157	3.632	3.848	3.946	4.011	4.024
	-0.15	0.324	0.541	0.640	0.685	0.715	0.721
	1.913	0.870	0.395	0.179	0.081	0.016	0.003
	4.483	3.014	2.027	1.363	0.916	0.414	0.187

Данные таблицы показывают, что требуемая точность вычислений =0.01 достигается при =16.