Метод наименьших квадратов.

Пусть функция задана на некотором дискретном или непрерывном множестве А. Выберем систему линейно независимых функций , заданных на множестве. Рассмотрим задачу приближения функции на множестве А многочленом вида

.

При фиксированной системе функций многочлен однозначно определяется коэффициентами , т.е. . Многочлен называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции на множестве А, если выполняется соотношение

.

Здесь

.

Можно показать, что коэффициенты , минимизирующие квадрат расстояния , должны удовлетворять системе линейных уравнений

, (4.6)

где

.

Систему уравнений (4.6) называют нормальной системой. Благодаря предположению о линейной независимости функций решение системы (4.6) всегда существует и единственно.

Приближение функций алгебраическими многочленами. Часто для среднеквадратичных приближений используют системы алгебраических многочленов. Система степенных функций является простейшей и имеет вид

. (4.7)

Такая система линейно независима в пространстве непрерывных на интервале функций. В пространстве функций, заданных таблично на множестве точек , система (4.7) линейно независима при и линейно зависима в противном случае.

Пример 6. Для функции построить многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения по системе степенных функций (4.7) для двух значений , равных 2 и 3. Вычислить значение квадрата расстояния от до приближаемой функции , т.е. при и при . Определить величину относительного уменьшения ошибки аппроксимации .

Решение. Найдем многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции . Для расчета коэффициентов нормальной системы уравнений необходимо воспользоваться справочниками, содержащими таблицы интегралов от степенных и тригонометрических функций. Напомним, что

.

1. . В наших обозначениях . Коэффициенты нормальной системы уравнений

.

Следовательно, нормальная система уравнений относительно неизвестных и имеет вид:

.

Решая систему, получим

.

Многочлен наилучшего приближения

.

2. . В данном случае . Нормальная система уравнений

.

Решение системы

.

Многочлен наилучшего приближения

.

Следует отметить, что вычисления коэффициентов многочлена необходимо проводить с точностью до третьего знака после запятой.

Вычислим квадрат расстояния от приближаемой функции до многочлена наилучшего приближения

.

Относительная ошибка аппроксимации

.

Видно, что ошибка аппроксимации функции многочленом почти в три раза меньше, чем при аппроксимации многочленом .

Варианты заданий для выполнения контрольной работы.

Контрольная работа состоит из 5 заданий.

Задание 1. Решить систему линейных уравнений А методом LU- разложений.

Задание 2. Оценить погрешность решения системы уравнений ( см. задание 1), если погрешность задания вектора равна 0.01.

Задание 3. Решить систему линейных уравнений

методом итераций с погрешностью, не превышающей =0.01.

Номер варианта

Задание 4. Построить квадратичный интерполяционный многочлен Лагранжа для функции на отрезке . Найти оценку погрешности интерполяции на всем отрезке.

Номер варианта

Задание 5. Приближаемая функция задана на отрезке .Требуется построить многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения по системе степенных функций для двух значений , равных 2 и 3. Вычислить значение квадрата расстояния от до приближаемой функции , т.е. при и при . Определить величину относительного уменьшения ошибки аппроксимации .

Номер варианта