Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть на интервале задана система интерполяционных узлов . В которых известны значения функции . Задача интерполяции алгебраическими многочленами состоит в построении многочлена

степени , значения которого в заданных узлах интерполяции совпадают со значениями функции в этих узлах:

. (4.1)

Покажем, что поставленная задача имеет единственное решение. Для вычисления коэффициентов , , составим систему линейных уравнений

, .

Определитель данной системы имеет вид:

и называется определителем Вандермонда. Такой определитель отличен от нуля, если при . В этом случае система имеет единственное решение.

Интерполяционный многочлен естественно искать в виде

.

Удовлетворяя условиям интерполяции (4.1), получаем соотношения

,

которые выполняются, если на функции наложить ограничения

.

Последние условия означают, что каждая из функций , , имеет не менее нулей на интервале . Поэтому целесообразно искать эти функции в виде

.

Из условия имеем

.

Следовательно, искомые функции вычисляются по формулам

.

Отсюда интерполяционный многочлен имеет вид

. (4.2)

Форма представления интерполяционного многочлена в виде линейной комбинации значении приближаемой функции с коэффициентами называется формой Лагранжа. Если ввести обозначение

, (4.3)

то многочлен Лагранжа можно записать в виде

.

Оценка погрешности интерполяции. Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом Лагранжа (4.2) описывается разностью

.

Для функций формула оценки погрешности интерполяции в точке имеет вид:

, (4.4)

оценка погрешности на интервале задается формулой

(4.5)

Пример 4. Функция задана своими значениями в узлах

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценить погрешность интерполяции в точке =5, считая .

Решение. Используя формулу (4.2), напишем интерполяционный многочлен Лагранжа

,

итак, для получаем

.

Оценим погрешность интерполяции в точке =5, используя формулу (4.4):

Пример 5. Найти оценку погрешности интерполяции функции на отрезке квадратичным интерполяционным многочленом Лагранжа.

Решение. По формуле (4.5) имеем

.

Оценим правую часть неравенства:

,

максимальное значение

достигается в точке :

.

Итак, получаем следующую оценку погрешности интерполяции: