Классификация функций и построение графиков

Отображение называется сюръективным (или отображением «на»), если каждый элемент из имеет, по крайней мере, один прообраз, т.е. .

Примерами сюръективных отображений являются функции , .

Отображение называется инъективным (или вложением), если из следует , т.е. каждый образ обладает ровно одним прообразом .

Примерами инъективных отображений могут служить монотонные функции , , и т.д.

Отображение называется биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

Обратимость отображений

Пример

Пусть зависимость спроса от цены при прочих неизменных условиях определяется уравнением . Если требуется определить, при каком значении цены спрос будет равен 80, то в этом случае мы решаем обратную задачу: по значению функции определяем значение аргумента . ◄

Пусть . Рассмотрим уравнение, порожденное отображением :

, (1)

где – неизвестное, – параметр.

Ясно, что если инъективно, но не сюръективно, то существуют такие значения параметра, при которых уравнение (1) не имеет решений, а для тех значений параметра, при которых у уравнения есть решения, это решение для каждого значения параметра единственно.

Если сюръективное отображение, но не инъективное, то уравнение (1) имеет решения при любом значении параметра, и существует хотя бы одно такое значение параметра , при котором уравнение (1) имеет более одного решения.

В случае, когда – биективное отображение, уравнение (1) имеет при каждом значении параметра единственное решение. В этом случае отображение определяет другое отображение , которое каждому элементу ставит в соответствие решение уравнения (1). Это решение обозначается . Отображение называется обратным для отображения .

Нетрудно убедиться, что и .

Отображение называется обратимым, если существует отображение такое, что

, ,

, .

При этом отображение называется обратным к .

ТЕОРЕМА (критерий обратимости). Для того чтобы отображение было обратимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным.

Примеры

1) не является обратимым;

2) не является обратимым;

3) не является обратимым;

4) обратим, .

Таким образом, чтобы найти функцию = , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно . Традиционно независимую переменную обозначают , а зависимую . Итак, если уравнение можно разрешить относительно , то полученное явное выражение задает функцию, обратную по отношению к функции . При этом для всех допустимых значений выполнено соотношение .

Пример

Функции и взаимно обратные. Графики их симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если возрастает, то и также возрастает. Например, функция на строго возрастает. На этом промежутке существует обратная ей функция , которая также возрастает.

Пример

В формуле функции спроса цена является аргументом, а количество товара , которое покупатели готовы приобрести ‑ функцией. Разрешив уравнение функции спроса относительно переменной , получим функцию, обратную данной: . Эта функция определяет максимально возможную цену , при которой товар в количестве может быть продан на рынке. ◄

Композиция функций (сложная функций)

Пусть , . Композицией (или суперпозицией) функций и называется функция, обозначаемая и определяемая следующим равенством:

.

Правая часть этого равенства показывает, что значение композиции в точке вычисляется в результате последовательного действия сначала , а затем (на полученный результат) функции .

Пример

Пусть и , и . Тогда , . Попутно мы доказали, что во множестве функций, на которых определены и и , композиция не является коммутативной операцией.