Границы числовых множеств

Пусть - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Если существует число такое, что для выполняется неравенство , то множество называется ограниченным сверху (числом ). Число называется верхней границей множества .

Если существует число такое, что для выполняется неравенство , то множество называется ограниченным снизу (числом ). Число называется нижней границей множества .

Если существует число такое, что для выполняется неравенство , то множество называется ограниченным.

ТЕОРЕМА. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число - верхняя граница, то верхними границами будут числа и т.д.). Обозначим множество верхних границ множества . Множество ограничено снизу (любым элементом множества ).

Возможны два случая: либо множество имеет максимальный элемент (например, если – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество не имеет максимального элемента (например, если = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Точной верхней границей, или верхней гранью, множества , ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы или .