Единичная матрица. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы.

Едини́ чная ма́ трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Единичная матрица размера обычно обозначается E_n и имеет вид:

Так же используется и другое обозначение: I_n.

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A^{− 1} и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

и

Следовательно, .