Линейная зависимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.

Мы рассматриваем столбцы или строки одинаковой длины.

, , …,

+ +…+ - такое выражение называется линейной комбинацией системы.

Система векторов наз-ся линейнозависимой, если существует такая её линейная комбинация, которая равна нулевому вектору, причем не все коэфф-ты этой комбинации равны нулю.

т.е. + +…+ = = 0

Теорема

Критерий линейной зависимости.

Система векторов линейнозависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие.

Док-во(для 4ех векторов)

1)Пусть , , линейнозависимые + + + = 0

=- - - (при =0)

2)Пусть = + +

+ + +(-1) =

Св-ва линейн.зависимой системы:

1) Если система содержит нулевой вектрой.то она линейнозависима.

, , , …,

1* +0* +0* +…+0* =

2) Если подсистема системы векторов является лин.зависимой, то и вся система явл-ся лин.зависимой.

Док-во.

Переименуем вектора так, что первые к векторов явл-ся лин.зависимыми.

, , …, , , …,

лин. завис.

+…+ =0 = 0

+ +…+ +0* +…+0* =0 = 0