Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы, их отыскание.

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой ненулевой n -мерный вектор x, что Ax=λ x.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором квадратной матрицы A, принадлежащим ее собственному значению λ, если Ax=λ x.

Найдем собственное значение матрицы:

А= .

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А. Так как

|A-λ E|= = -λ ³+3λ +2, то -λ ³+3λ +2 - это характеристическое уравнение матрицы А. Разложив левую часть уравнения на множители, получим -(λ -2)(λ +1)²=0

Следовательно, матрица А имеет два собственных значения:

λ ₁=2, λ ₂=-1.

Найдем собственные векторы матрицы.

А= .

Решение: В предыдущей задаче были найдены собственные значения матрицы А: λ ₁=2, λ ₂=-1. Теперь найдем множества А(2) и А(-1). Система линейных уравнений (А-2Е)x=θ, x =(x ₁, x ₂, x ₃), имеет вид

x₁+ x₂+ x₃= .

Ее фундаментальная система решений состоит их одного вектора (1, 1, 1,). Следовательно, вектор α (1, 1, 1,), α ϵ R, -произвольный собственный вектор из А(2).

Теперь найдем множество А(-1). Векторы (-1, 1, 0) и (-1, 0, 1) образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (А+Е)x=θ и, значит, α (-1, 1, 0)+β (-1, 0, 1), α, β ϵ R, -произвольный вектор из множества

А(-1).