Критерий Ходжа-Лемона

Критерий Ходжа-Лемона является производным от двух критериев: критерия Байеса и критерия крайнего пессимизма Вальда.

Если исходная оценочная матрица является матрицей выигрышей, то решение, оптимальное по критерию Ходжа-Лемона, должно удовлетворять условию:

, (4.13)

где λ – коэффициент, характеризующий степень доверия ЛПР к используемым вероятностям состояний среды q_j.

Как и при критерии Гурвица λ выбирается из субъективных соображений. При условии λ = 1 критерий Ходжа-Лемона превращается в критерий Байеса, а при λ = 0 – в критерий Вальда.

Пример. Дана матрица выигрышей вида:

Имеются статистические данные, позволяющие предположить, что состояние среды имеют следующий закон распределения вероятностей:

g ₁ = P (s ₁)» 0, 5; g ₂ = P (s ₂)» 0, 3; g ₃ = P (s ₃)» 0, 2.

Требуется найти оптимальное по критерию Ходжа-Лемона решение, если коэффициент доверия к статистическим данным λ = 0.7.

Решение. В соответствии с выражением (4.13) получаем:

a ₁ = 0, 7(0, 5*2 + 0, 3*4 + 0, 2*6) + 0, 3*2 = 2, 98;

a ₂ = 0, 7(0, 5*5 + 0, 3*5 + 0, 2*2) + 0, 3*2 = 3, 68;

a ₃ = 0, 7(0, 5*7 + 0, 3*1 + 0, 2*4) + 0, 3*1 = 3, 52.

Следовательно, .

Если исходная матрица является матрицей проигрышей | b_ij | или матрицей рисков | r_ij |, оптимальные решения по критерию Ходжа-Лемона определяются соответственно из условий:

, (4.14)

. (4.15)

Критерий Ходжа-Лемона применяется при следующих обстоятельствах:

- имеются некоторые предположения (статистические данные) о вероятностях состояний среды. Степень доверия ЛПР к этому ряду распределения вероятностей задается коэффициентом λ;

- принятие решения допускает большое число реализаций;

- при малом числе реализаций решения допускается некоторый риск.