Правило Верещагина для перемножения эпюр

Произведение двух эпюр, хоть одна из которых прямолинейна, равно площади криволинейной эпюры, умноженной на ординату прямолинейной эпюры, взятой под центром тяжести криволинейной.

При вычислении перемещений по формуле Мора, каждый раз приходится составлять общие выражения для внутренних усилий (изгибающих моментов) на каждом участке от внешних нагрузок и единичных сил , а затем производить интегрирование произведения двух алгебраических функций. Подынтегральная функция имеет вид многочлена, редко превышающего третью степень.

Это объясняется тем, что при воздействии на систему сосредоточенных сил, выражения для изгибающих моментов имеют линейную зависимость вида: M=b₀+kz, а при воздействии, кроме указанных выше, так же и равномерно-распределенных нагрузок, выражения имеют квадратичную зависимость: M=a+bz+cz².

Графически эти зависимости отображаются соответственно наклонной прямой и квадратной параболой, и называются эпюрами моментов. Необходимо заметить, что в единичном состоянии эпюра моментов всегда линейна, а в грузовом состоянии эпюра может быть прямолинейной или параболической.

Таким образом, на каждом участке необходимо вычислить интеграл

Является целесообразным произвести это интегрирование в общем виде и использовать полученное правило при решении конкретных задач.

Рассмотрим наиболее общий случай: грузовая эпюра – парабола или любая другая криволинейная фигура; единичная эпюра – прямолинейная трапеция: M_i=b+kz, где b – начальная ордината эпюры, - угловой коэффициент, - угол наклона эпюры.

Грузовая эпюра M_F:

M_F(Z) ω _MF

dω _MF C_MF

z dz

Единичная эпюра

M_i(Z_CMF)

ω _MF – площадь грузовой эпюры

C_MF – центр тяжести грузовой эпюры.

Разобьем интеграл на два подинтеграла:

и

ω _MF – площадь грузовой эпюры, S_MF – статический момент площади грузовой эпюры относительно оси, проходящей через начало эпюры. Его можно вычислить, зная площадь и абсциссу центра тяжести.