Метод сил

Основная проблема СНС – это наличие лишних связей, что наделяет эти системы особыми свойствами, рассмотренными выше. С точки зрения расчета, эти связи не позволяют решить задачу на основе уравнений равновесия и метода сечений. Необходимо, как известно, составить еще и n дополнительных уравнений на основе условий совместности деформаций (перемещений).

В методе сил за известное принимают реакции в лишних опорных связях и (или) внутренние усилия, соответствующие лишним внутренним связям. Эти неизвестные с целью упрощения разрешающих уравнений обозначают: , где n=R-U – степень статической неопределимости, равная числу избыточных связей. Для плоских рам эта величина определяется по формуле:

K- число замкнутых контуров;

U_ш – число простых шарнирных узлов, включая шарнирно-неподвижные опоры;

U_n – число подвижных узлов, включая шарниро-подвижные опоры (катки).

Из R внешних и внутренних связей необходимо выбрать n безусловно не необходимых и, отбросив их, получить основную систему, которая должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой.

С

Заданная рама 5 раз статически неопределима: 3 раза внешне и 2 раза внутренне. Наметим лишние связи: 3 внешних связи в заделке В и 2 внутренние связи в шарнире С. Показанная основная система геометрически неизменяема, т.к. состоит из одного диска, присоединенного к земле тремя связями. При этом она и статически определима. В эквивалентной системе введены следующие обозначения: x₁=H_B; x₂=V_B; x₃=M_B; x₄=N_C; x₅=Q_C.

Так как мы заменили связи реакциями связей, то эквивалентная система полностью адекватна заданной системе как в статическом, так и в кинематическом смыслах (усилия и перемещения в заданной и эквивалентной системе одинаковы). Преимущество эквивалентной системы в том, что если силы x _i причислить к внешним нагрузкам, то эквивалентная система статически определима и поэтому легко решается.

Вычислим перемещение по направлению i отброшенной связи, испльзуя принцип суперпозиции.

Для эквивалентрой системы:

где - податливость основной системы, - перемещение вызванное заданной внешней нагрузкой в основной системе.

В заданной системе связи наложены, поэтому .

На основе адекватности получаем:

().

Раскрывая по всем i, получаем систему канонических уравнений метода сил для определения лишних неизвестных:

Каждое из уравнений имеет следующий физический смысл: перемещение в основной системе по направлению отброшенной связи, вызванное действием лишних неизвестных и внешней нагрузки, всегда равно нулю.

Податливости и перемещения в основной системе определяют по интегралу Мора, с использованием правила Верещагина и формул трапеции или Симпсона.

Например, чтобы определить податливость , рассмотренной нами необходимо построить и перемножить единичные эпюры .

C₁ C₂

h h

Горизонтальное перемещение т. В, вызванное действием сил , равно нулю.

По теореме Максвелла о взаимности перемещений: , т.е. взаимное перемещение по вертикали сечений С₁ и С₂, вызванное действием силы , равно нулю.

Чтобы определить перемещение ∆ _3F, необходимо построить и перемножить эпюры от сил и .

D

1 1

Решая систему канонических уравнений, находят лишние неизвестные x_i. Окончательную эпюру изгибающих моментов строят, используя принцип суперпозиции.

Для проверки правильности эпюры М используют статическую и кинематическую проверки. Статическая заключается в проверке равновесия всех узлов рамы, выделенных из конструкции и находящихся под действием изгибающих моментов в сходящихся стержнях и внешних моментов, приложенных в узлах. Например, для эпюры M_F получаем для узла D:

0

D - узел D в равновесии.

Кинематическая проверка заключается в отсутствии суммарных перемещений в заданной системе по направлению отбрасываемых связей:

т.е. необходимо перемножить каждую из единичных эпюр на окончательную эпюру М. Если ноль не получается, то допущена как минимум одна ошибка в расчетах (при первом расчете таких ошибок несколько). Для того, чтобы избежать неопределенности в нахождении ошибки, разработана система пошаговых промежуточных проверок.

Эпюра поперечных сил Q для простых рам строится методом сечений. Для сходных рам эпюру Q строят путем вырезания отдельных стержней рамы с последующим рассмотрением их равновесия под действием внешних нагрузок и внутренних усилий по концам стержней. Так как нагрузки известны, изгибающие моменты можно принять с окончательной эпюры М, а продольные силы в составлении уравнений равновесия не участвуют, то можно вычислить поперечные силы по концам стержней.

Рассмотрим стержень ij:

y P q M

Эпюру продольных сил N для простой рамы можно построить методом сечений. Для схожей рамы эпюру N строят путем рассмотрения равновесия вырезанных узлов, находящихся под действием активных нагрузок поперечных сил, взятых с эпюры Q, и продольных сил. Необходимо последовательно рассматривать узлы, в которых неизвестными являются не более двух продольных сил. Например, для узла k получаем:

P₁ N_kj j

P₂ K Q_kj

Q_ki

N_ki

i

Для статической проверки всей рамы в целом необходимо приложить все опорные реакции и составить три уравнения равновесия, которые должны тождественно выполняться ():