Применение типовых динамических звеньев для анализа динамических свойств экономических систем

Рассмотрим возможности использования типовых динамических звеньев и их соединений для более четкого представления динамических свойств элементов экономических систем, синтеза экономической системы, с точки зрения, проходящих динамических процессов, и последующего анализа поведения системы в динамике. Для этого рассмотрим построение структурной схемы экономической системы, функциональная схема которой приведена на рисунке 2.19.

I(t)

(-)

L(t) Z(t)

Рисунок 2.19. Функциональная схема экономической системы

На схеме, приведенной на рисунке 2.19. приняты следующие обозначения:

ОПФ – основные производственные фонды;

X(t) – стоимость валового выпуска;

Y(t) – величина валового внутреннего продукта;

K(t) – капитал (стоимость основных производственных фондов);

V(t) – стоимость вновь вводимых основных производственных фондов;

К_выб(t) – стоимость выбывших за год основных производственных фондов;

I(t) – объем ежегодных валовых инвестиций;

L(t) – количество вовлеченных в производство трудовых ресурсов;

Z(t) – стоимость промежуточного продукта;

C(t) – стоимость дополнительных факторов, влияющих на валовой выпуск;

P(t) – стоимость продукции, предлагаемой для конечного потребления.

Все показатели экономической системы являются функциями от времени (t). Время изменяется непрерывно, а значения показателей известны прерывно с интервалом в один год.

Основой математической модели рассматриваемой экономической системы составляет производственная функция, связывающая ресурсные показатели (K, L, C) с валовым выпуском X. В первом приближении в качестве производственной функции возьмем линейную функцию вида:

X(t) = α ∙ K(t) + β ∙ L(t) + C(t), (2.56)

где α, β – постоянные коэффициенты, характеризующие уровень эффективности влияния ресурсов на валовой выпуск.

Примем, что на изучаемом интервале времени в экономической системе сохраняется постоянная величина фондовооруженности труда, т.е.

k_ф = K(t)/L(t) = const, (2.57)

а значит, L(t) = K(t)/k_ф. В этом случае производственную функцию (2.56) можно записать в следующем виде:

X(t) = γ ∙ K(t) + C(t), (2.58)

где γ = α + β /k_ф.

Для остальных показателей используем формулы, примененные для описания модели Р. Солоу [24, 25, 44]:

; (2.59)

; (2.60)

Y(t) = (1-a)∙ X(t); (2.61)

; (2.62)

P(t) = (1- φ)∙ Y(t). (2.63)

В формулах (2.59) – (2.63) участвуют экзогенные показатели:

m – доля основных производственных фондов, выбывших за один год;

T₁ – постоянная времени, характеризующая скорость превращения валовых инвестиций в основные производственные фонды;

a – доля промежуточного продукта в стоимости валового выпуска;

φ – доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте.

Учитывая уравнения (2.58)–(2.63) функциональной схемы, приведенной на рисунке 2.19,. и, используя типовые структурные звенья, составим структурную схему, отражающую динамические свойства изучаемой экономической системы. Вид данной схемы приведен на рисунке 2.20. В соответствии со структурной схемой передаточная функция W₂(p) имеет следующий вид:

Для формулы (2.64) величина T₂ = 1 / m. Эта величина являетсякоэффициентом, характеризующим инерционность выбытия основных производственных фондов в системе.

Передаточная функция всей цепи обратной связи W₃(p) будет равна:

. (2.65)

В этом случае, с учетом положительного характера обратной связи, вид передаточной функции всей системы будет следующим:

. (2.66)

W₂(p)

(+)

(-)

X*(t)

(+)

С(t)

Рисунок 2.20. Структурная схема экономической системы

Для удобства анализа переходных процессов в экономической системе введем обозначения:

(2.67)

(2.68)

(2.69)

С учетом введенных обозначений, динамические свойства экономической системы, показанной на рисунке 2.19., отражаются дифференциальным уравнением вида:

(2.70)

Одной из важнейших характеристик динамики экономических систем является ее устойчивость. Под устойчивостью системы понимают способность системы возвращаться в исходное или новое стационарное положение после снятия возмущающего воздействия. Математически устойчивость динамической системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением, определяется свободным движением системы. В рассматриваемом случае при нулевых начальных условиях свободное движение системы характеризуется однородным дифференциальным уравнением вида:

. (2.71)

Вид переходных процессов в динамических системах, описываемых линейными однородными дифференциальными уравнениями, определяется корнями характеристического уравнения. Необходимым и достаточным условием устойчивости в этом случае является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения.

Для уравнения (2.71) характеристическое уравнение имеет вид:

, (2.72)

где λ – корни характеристического уравнения.

Значения корней характеристического уравнения в данном случае определяются по формуле:

. (2.73)

Следовательно, если k₃^* > k₂^*, то в уравнении (2.73) второе слагаемое дискриминанта будет положительным, а сам дискриминант D > (T₁ + T₂)². Таким образом, один из корней характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть и значение показателя P(t) устремится в бесконечность, т.е. экономическая система будет неустойчивой. Из этого следует, что устойчивость экономической системы, представленной на рисунке 2.19, определяется значениями экзогенно задаваемых параметров a, φ, γ, T₂.

Например, если a = 0, 1, φ = 0, 2, γ = 0, 35, T₂ = 20, то величина k₂*= 1, 14, а k₃* = 1, 4. В этом случае k₃*> k₂* и экономическая система будет неустойчивой. В тоже время при a = 0, 1, φ = 0, 1, γ = 0, 35, T₂ = 20, величина k₂*= 1, 07, а величина k₃* = 0, 7. Следовательно, при таких значениях экзогенно задаваемых параметров a, φ, γ, T₂ экономическая система устойчива. Могут быть предложены и другие сочетания экзогенных параметров, при которых экономическая система также будет устойчива. Для данной экономической системы, чем больше величина коэффициента передачи цепи обратной связи k_ос = k₃* = φ · T₂ · γ, тем ближе она к зоне неустойчивого состояния. Экономическая система находится на границе устойчивого состояния при выполнении равенства:

k₂* = k₃* или (1 - a)·φ ·T₂·γ = 1 (2.74)

Формула (2.74) может быть использована для выбора значений экзогенных параметров, обеспечивающих заданный уровень устойчивости экономической системы, структура которой приведена на рисунке 2.20.

Таким образом, построение структурной схемы экономической системы позволяет найти не только вид дифференциального уравнения, связывающего выходной показатель системы с входным показателем, но и оценить важнейшую характеристику линейной экономической системы: ее устойчивость. Реальные экономические системы могут быть нелинейными и только приближенно их динамику можно описать линеаризованными уравнениями. Однако и в этом случае, согласно теоремам об устойчивости А.М. Ляпунова, если линеаризованная система устойчива, то устойчива и исходная нелинейная система. Если линеаризованная система неустойчива, то неустойчива и исходная нелинейная система.

Для определения устойчивости экономической системы необходимо определить знаки вещественных частей корней характеристического уравнения, а следовательно, определить устойчивость системы, не определяя корней характеристического уравнения. Решение этой проблемы осуществляется путем использования алгебраических критериев устойчивости:

─ для уравнений первого и второго порядка необходимым и достаточным условием является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения;

─ для уравнения третьего порядка, согласно критерию устойчивости И.А. Вышнеградского, дополнительно необходимо, чтобы произведение средних коэффициентов характеристического уравнения вида:

a₃∙ λ ³ + a₂∙ λ ² + a₁∙ λ + a₀ = 0 (2.75)

было больше произведения крайних, т.е. a₂∙ a₁ > a₃ ∙ a₀ ;

─ для характеристических уравнений более высокого порядка используют критерий Гурвица, согласно которому система с характеристическим уравнением a_n∙ λ ⁿ + a_n-1∙ λ ^n-1 + ∙ ∙ ∙ + a₁∙ λ + a₀ = 0 будет устойчивой, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны.

В коэффициенты характеристического уравнения входят лишь значения параметров экономической системы, поэтому устойчивость системы определяется только ее параметрами и не зависит от ее состояния.

Как видно из вышеизложенного материала, для всестороннего анализа и последующего синтеза экономической системы необходимо произвести оценку ее параметров. Эффективное решение этой задачи возможно путем декомпозиции системы на типовые динамические звенья и последующее использование интегральных методов оценки параметров этих типовых