Формула Бернулли

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие Ā. Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через р, а вероятность появления события Ā через .

Вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно k раз (и не появится п-k раз), обозначим через , тогда

– это формула Бернулли. Правая часть ее представляет собой общий член разложения бинома Ньютона

.

Поскольку , то сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:

.

Число k ₀, которому при заданном п соответствует максимальная биномиальная вероятность P_n(k ₀ ), называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных п и р это число определяется неравенствами

.

Если число не является целым, то равно целой части этого числа; если же – целое число, то имеет два значения: и .

Вероятность того, что в п опытах схемы Бернулли событие А появится от до раз, равна

.

Вероятность того, что в п опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

.

Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее k раз, в) более k раз, в) не менее k раз, г) не более k раз, находят соответственно по формулам:

Производится п независимых опытов, каждый из которых имеет попарно несовместных и единственно возможных исходов с вероятностями , одинаковыми во всех опытах .

Для произвольных целых неотрицательных чисел обозначим через вероятность того, что в п опытах исход А ₁ наступит k ₁ раз, исход раз, …, исход раз, тогда

.

Эта формула определяет полиноминальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение является частным случаем полиноминального распределения при .

Пример 4.1.1. Всхожесть семян равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут а) три; б) не менее трех.

Искомые вероятности находим с помощью формулы Бернулли. В первом случае поэтому

.

Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей

.

Поскольку

то Р (А) = 0, 2916 + 0, 6561 = 0, 9477.

Пример 4.1.2. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?

,

отсюда

Вопросы для самопроверки

1. Какими должны быть испытания, чтобы можно было применять формулу Бернулли?

2. Какой вид имеет формула Бернулли?

3. Что называют наивероятнейшим числом появления событияв п независимых испытаниях? Как находится это число?

4. Какой вид имеет формула, определяющая вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится от k ₁ до k ₂ раз

5. Как найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз?

6. Как вычислить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз?