Функции одномерных случайных величин
Функции случайных величин
Функции одномерных случайных величин
Пусть на вероятностном пространстве ( , F, P) задана случайная величина X. Предположим, что имеется числовая функция скалярного аргумента x. Случайную величину назовем функцией от одномерной случайной величины X. Покажем, как построить закон распределения функции , зная закон распределения случайного аргумента X.
1. Пусть случайная величина X является дискретной.
Функция от СВДТ X снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений СВДТ X. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением
.
Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.
Пример 2.3.1. Закон распределения случайной величины X имеет вид:
X
| –2
|
|
|
| P
| 0, 2
| 0, 3
| 0, 1
| 0, 4
| Рассмотрим две числовые функции и . Подставляя вместо аргумента x случайную величину Х, получим новые случайные величины и . Построить ряды распределений случайных величин: 1) , 2) . Составить их функции распределения.
Решение. 1) Найдем возможные значения случайной величины Y:
, , , .
Тогда ряд распределения случайной величины Y имеет вид:
Y
| –8
|
|
|
| P
| 0, 2
| 0, 3
| 0, 1
| 0, 4
| Составим теперь функцию распределения случайной величины :

2) Найдем вначале значения функции :
, , , .
Значит, случайная величина Z имеет три возможных значения:
, , .
Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:
Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ: 1) 2) 
2. Пусть случайная величина X является непрерывной.
Рассмотрим вначале случайную величину , где – гладкая строго монотонная функция скалярного аргумента x, а X – СВНТ с плотностью . Тогда плотность распределения случайной величины Y находится по формуле:
,
где – обратная по отношению к функция.
Если же – немонотонная функция на множестве возможных значений X, то следует разбить этот промежуток на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить в виде суммы
.
В частности, если функция монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны и , то
.
Пример 2.3.2. Найти плотность распределения СВНТ ( ), где СВНТ X имеет плотность .
Решение. при гладкая строго монотонная функция. Тогда обратная функция . Отсюда . Таким образом,
.
Ответ: .
Пример 2.3.3. Случайная величина X распределена нормально с параметрами m и ( ). Доказать, что линейная функция , где , также распределена нормально, причем , .
Решение. Напишем плотность распределения случайной величины X:
.
Применим формулу , выведенную в предыдущем примере 2.3.2. Получим
.
Отсюда видно, что .
Пример 2.3.4. Случайная величина X распределена по закону Коши
.
Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. гладкая строго монотонная функция. Тогда обратная функция . Отсюда , причем . Значит, .
Таким образом,
.
Ответ: .
Пример 2.3.5. Случайная величина X распределена равномерно в интервале ( ). Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. Найдем плотность распределения случайной величины X:

Из уравнения найдем обратную функцию . Поскольку в интервале функция немонотонна, то необходимо разбить этот интервал на интервалы и , в которых эта функция монотонна. На интервале обратная функция , на интервале обратная функция . Тогда искомая плотность распределения может быть найдена из равенства
.
Найдем производные обратных функций:
, .
Тогда модули производных равны
, .
Учитывая, что при , получим
, .
Отсюда
.
Так как при , то . Таким образом, на интервале искомая плотность распределения равна , вне этого интервала .
Ответ: 
Рассмотрим далее на примерах, как находится функция распределения случайной величины , если известна функция распределения случайной величины X.
Пример 2.3.6. Задана функция распределения случайной величины X. Найти функцию распределения случайной величины , если: 1) ; 2) .
Решение. 1) По определению функции распределения . Поскольку функция – возрастающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому
.
Из уравнения выразим x: . Тогда
.
2) По определению функции распределения . Поскольку функция – убывающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому
.
Из уравнения выразим x: . Тогда
.
Ответ: 1) ; 2) .
|