![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задача композиции
Очень часто встречается функциональная зависимость вида
т.е. возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора 1. Пусть X и Y – СВДТ с известным законом совместного распределения
где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие Пример 2.3.11. Закон распределения случайного вектора
Составив закон распределения случайной величины Решение. Найдем вначале значения функции
Значит, случайная величина Z имеет пять возможных значений:
Вероятность возможного значения
Тогда найдем функцию распределения Вычислим теперь
Ответ: 2. Пусть X и Y – СВНТ с известной плотностью совместного распределения компонент
Особо важным для практики представляется частный случай, когда X и Y – независимые случайные величины, а 1. Пусть X и Y – независимые СВДТ, тогда или
Пример 2.3.12. Рассматривается случайная величина Z – суммарное число «успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон распределения случайной величины Z и составить ее функцию распределения. Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию задачи X и Y независимы. Тогда
с вероятностями
соответственно. Тогда ряд распределения примет вид
Составим теперь функцию распределения случайной величины Ответ: 2. Пусть X и Y – независимые СВНТ,
Этот интеграл можно вычислять как повторный: Дифференцируя по z, получаем:
Две последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно выразить функцию распределения
Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы, Составить функцию распределения и функцию плотности суммы Решение. Применяя формулу свертки, имеем
т.к. производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует существование плотности
Ответ:
Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством
а б Рис. 2.3.2. По определению функции распределения
Неравенству С другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то
где область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой Если Если
поэтому Если Найдем теперь плотность распределения График функции плотности Рис. 2.3.3. 2 способ. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение в формуле свертки
Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим:
Рис. 2.3.4. Ответ: Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения данного типа, следует, что их сумма Рассмотрим примеры композиционно устойчивых распределений.
Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона: Решение. Найдем вероятность события
Следовательно, случайная величина Ответ:
Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону: Решение. Представим случайную величину X в виде:
где Ряд распределения случайной величины
Аналогичное представление сделаем и для случайной величины Y:
где Ряд распределения случайной величины
Следовательно,
где каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по одному и тому же закону:
Всего слагаемых – Ответ: Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной величиной Y) будут различны, то в результате сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится случайная величина Z, распределенная не по биномиальному закону. Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки самостоятельно!).
Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: Решение. Пользуясь формулой свертки
Из курса интегрального исчисления известно, что
В данном случае Таким образом, из структуры плотности следует, что случайная величина Ответ:
|