Занятие 1-2. Линейные операции над векторами

Цель занятия: Усвоить понятия коллинеарные векторы, сумма и разность векторов, произведение вектора на число.

Задачи

1. Дан параллелепипед . Указать отрезки а) сонаправленные с отрезком ; б) являющиеся представителем вектора .

2. Точки являются серединами сторон и треугольника . Какие из пар векторов являются коллинеарными: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ?

3. В параллелепипеде точки – середины ребер , , и , а – точка пересечения диагоналей. Доказать, что а) ; б) ; в) .

4. В параллелограмме точка – точка пересечения диагоналей, а точки и соответственно середины сторон и . Указать на чертеже представители следующих векторов: а) ;

б) ; в) ; г) .

5. В параллелепипеде точки – середины ребер и , точка – точка пересечения его диагоналей. Указать на чертеже представители следующих векторов: а) ;

б) ; в) ; г) .

6. Пусть – центр правильного шестиугольника . Выразить векторы через векторы а) и ; б) и .

7. Даны векторы и . Построить векторы: а) ; б) ; в) .

8. Доказать, что если и , и , то .

9. Доказать, что если и , то .

10. При каких условиях для ненулевых векторов и возможны следующие равенства: а) ;

б) ; в) ?

11. Доказать, что для двух неколлинеарных векторов и вектор делит пополам угол между векторами и .

12. В треугольнике – медианы. Выразить векторы через векторы и . Найти сумму векторов , дать геометрическую характеристику полученному результату. Доказать, что для любой точки верно равенство , где – центр тяжести треугольника.

13. Какими должны быть векторы и , чтобы векторы и были а) ортогональны; б) равны по длине; в) коллинеарны; г) равны по длине и ортогональны?

Домашнее задание

1. В параллелограмме – точка пересечения диагоналей, – середины сторон и . Построить векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Точка – центр правильного шестиугольника . Выразить векторы через векторы и .

3. В треугольнике и – середины сторон и . Выразить векторы и через векторы и .